[Home] [Donate!] [Контакты]

Решение задачи при наличии осевой симметрии

Ранее мы уже рассчитывали влияние объекта типа монеты небольших размеров на параметры катушки металлоискателя, причём сделали это с использованием простейшей математики, буквально на уровне школьного курса. Были рассмотрены другие важные вопросы, например выбор оптимальной рабочей частоты. Однако, остались нерешёнными такие очень серьёзные задачи, как расчёт влияния на катушку массивных проводящих предметов и грунта. Кроме того, хотелось бы уточнить, насколько точными оказались найденные формулы и каковы их границы применимости (насколько малым должен быть объект, чтобы выведенные формулы были применимы). Это весьма сложные вопросы и решить их элементарными средствами уже не получится, поэтому они и не были включены в предыдущие статьи.

Как мы выяснили, решение названных задач сводится к расчёту вихревых токов, возникающих в проводящем теле, которое находится в переменном магнитном поле. Более того, было получено уравнение, позволяющее найти вихревые токи: "Расчёт вихревых токов в общем случае".

Цилиндр в магнитном поле соосной с ним круглой катушки. Рис. %img:cyl

Рассмотрим частный, но важный случай, когда катушка является круглой, а проводящее тело является цилиндрическим, расположенным соосно с катушкой (рис. %img:cyl). Задача в такой формулировке решается намного проще за счёт наличия осевой симметрии (снижается размерность задачи и уменьшается объём вычислений при численном решении), в то же время, получаемые при её решении результаты оказываются очень полезными с практической точки зрения. В частности, сможем уточнить полученные ранее приближённые результаты для монеты (поскольку монета является цилиндром). Влияние грунта можно оценить, рассчитав воздействие достаточно большого цилиндрического грунтового блока (с диаметром и высотой в несколько раз больше диаметра катушки и расстояния от катушки до поверхности земли).

Оглавление
Влияние грунта на металлоискатель. Отклик на предметы, не являющиеся малыми (основной документ) 
   Задача о расчёте вихревых токов 
   Расчёт вихревых токов в общем случае 
   Решение задачи при наличии осевой симметрии
   Численное решение задачи о вихревых токах при наличии осевой симметрии 
   Решение задачи в Octave. Примеры расчётов 
   Решение задачи в Octave. Влияние грунта 
   Решение задачи в Octave. Приложение: справочник по функциям 
Смотрите также
   Металлоискатели (общие вопросы) 


Пусть имеется круглая катушка L1, через которую протекает ток I1. Зная размеры катушки и ток через неё, можем рассчитать создаваемое катушкой магнитное поле в любой точке пространства, т.е. можем вычислить в любой точке вектор напряжённости магнитного поля \(\vec{H_0}\), создаваемого катушкой или векторный потенциал \(\vec{A_0}\). Можем использовать любую из этих величин, в зависимости от того, с какой удобнее оперировать.

Для простоты будем считать, что катушка состоит из одного круглого витка, а провод, образующий виток, является достаточно тонким, чтобы ток можно было считать линейным (рис. %img:a_c). Это условие не приведёт к потере общности решения, поскольку поле многовитковой катушки может быть найдено как сумма полей каждого витка, а если линейные размеры поперечного сечения катушки достаточно малы, то поле катушки можно считать таким же, как поле одного кругового контура с током в n1 раз больше тока катушки, где n1 - количество витков в катушке.

Магнитное поле кругового контура с током (вычисление векторного потенциала). Рис. %img:a_c

В связи с наличием осевой симметрии в нашей задаче, её удобно рассматривать в цилиндрической системе координат с осью Oz, совпадающей с осью контура с током. Начало системы O выберем в центре контура.

Можно показать, что в предположении о квазистационарности процессов (частота тока катушке достаточно мала, чтобы можно было пренебречь излучением электромагнитных волн; сила тока в контуре одинакова по всем поперечным сечениям), векторный потенциал кругового тока рассчитывается как $$ \begin{equation} \vec {A_0} = \vec {l_\theta} \frac {\mu \mu_0 I_1} {2 \pi b} \sqrt {\frac {a_1} r} \left( (2-b^2) K(b)-2E(b)\right), \label{a_eq} \end{equation} $$ где $$ \begin{equation} b^2 = \frac {4 a_1 r} {z^2 + r^2 + a_1^2 + 2 a_1 r}, \\ \label{b_par} \end{equation} K(b) = \int\limits_0^{\pi/2} {\frac {d \beta} {\sqrt{1-b^2 \sin^2 \beta}}}, \\ E(b) = \int\limits_0^{\pi/2} {\sqrt{1-b^2 \sin^2 \beta} d \beta}. $$ \(\vec {A_0}\) - векторный потенциал, вычисляемый в некоторой точке X, заданной своими цилиндрическими координатами \(X(r, \theta, z)\). Как видим, по модулю результат не зависит от азимута \(\theta\), от угла зависит лишь направление вектора. Индексом "0" мы указываем на то, что величина описывает поле, создаваемое контуром (L1) с током.
\(\vec {l_{\theta}}\) - единичный азимутальный вектор в цилиндрической системе, в точке X, для которой вычисляется векторный потенциал; векторный потенциал в данном случае имеет только одну азимутальную составляющую, остальные составляющие всюду равны нулю.
\(\mu, \mu_0\) - магнитная проницаемость среды и магнитная постоянная соответственно.
I1 - сила тока в контуре L1.
b - параметр, вычисляемый в соответствии с \eqref{b_par}.
a1 - радиус контура с током, создающего магнитное поле.
K(b), E(b) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно (не выражаются через элементарные функции, но математические библиотеки содержат алгоритмы для их быстрого вычисления).

Таким образом, несмотря на достаточно сложный вид формулы \eqref{a_eq}, особых трудностей с вычислением магнитного поля, создаваемого круговым током, не возникает.

Как мы выяснили, внешнее магнитное поле (здесь это поле A0 контура L1) и магнитное поле Ae вихревых токов в любом однородном проводящем теле связаны уравнением $$ \begin{equation} \nabla^2 \dot{\vec A_e} \approx i \omega \sigma \mu \mu_0 \dot{\vec A_0} + i \omega \sigma \mu \mu_0 \dot{\vec A_e}. \label{base_eq} \end{equation} $$ Запишем уравнение \eqref{base_eq} для проекций векторов в цилиндрической системе координат.

Векторный лапласиан в цилиндрических координатах $$ \nabla^2 \vec A = \vec l_r \left( \nabla^2 A_r - \frac 2 {r^2} \frac {\partial A_{\theta}} {\partial \theta} - \frac {A_r} {r^2} \right)+\\ + \vec l_{\theta} \left( \nabla^2 A_{\theta} + \frac 2 {r^2} \frac {\partial A_r} {\partial \theta} - \frac {A_{\theta}} {r^2} \right)+\\ + \vec l_z \nabla^2 A_z, $$ где \(\vec l_r, \vec l_{\theta}, \vec l_z\) - единичные векторы в цилиндрической системе в данной точке, заданной своими цилиндрическими координатами \((r, \theta, z)\); \(A_r, A_{\theta}, A_z\) - проекции вектора A на единичные векторы. Используемый в выражении скалярный лапласиан имеет следующий вид в цилиндрической системе координат $$ \nabla^2 a = \frac {\partial^2 a} {\partial r^2} + \frac 1 r \frac {\partial a} {\partial r} + \frac 1 {r^2} \frac {\partial^2 a} {\partial \theta^2} + \frac {\partial^2 a} {\partial z^2}. $$

Мы намеревались привести изначальное уравнение \eqref{base_eq} к более простому виду, но получили нечто совершенно чудовищное. Однако, оказывается, что многие величины в приведённых выше выражениях являются нулевыми благодаря наличию осевой симметрии в рассматриваемой задаче.

Как следует из \eqref{a_eq}, в выбранной нами цилиндрической системе координат, \( \vec A_0\) имеет только одну ненулевую проекцию \( \vec A_{0 \theta}\), причём она не зависит от азимутального угла \(\theta\), т.е. $$ \frac {\partial A_{0 \theta}} {\partial \theta} = 0. $$ Вихревые токи, порождаемые внешним полем, будут в каждой точке направлены также (вдоль той же линии), как и векторный потенциал в данной точке, т.к. $$ \vec j = \sigma \vec E = - \sigma \frac {\partial \vec A} {\partial t} $$ или, для комплексных амплитуд $$ \begin{equation} \dot {\vec j} = - i \omega \sigma \dot {\vec A}. \label{j_from_a} \end{equation} $$ Из соображений симметрии, можно сделать вывод о том, что вихревые токи, как и векторный потенциал не будут зависеть от \(\theta\). То же самое можно сказать о магнитном поле, порождаемом вихревыми токами, описываемом векторным потенциалом \( \vec A_e\).

Таким образом, для векторов \(\vec j, \vec A_0, \vec A_e, \vec A\), только \(\theta\)-проекция (азимутальная проекция) отлична от нуля, причём она не зависит от азимутального угла. Все остальные проекции названных векторов всюду равны нулю. Поэтому далее, для упрощения записей, индекс \(\theta\) будем опускать, при этом под A0, Ae будем подразумевать проекции \(A_{0 \theta}, A_{e \theta}\).

Опуская все нулевые слагаемые в лапласиане от \(\vec A_e\), получаем уравнение, которое для комплексных амплитуд будет иметь вид $$ \frac {\partial^2 \dot A_e} {\partial r^2} + \frac 1 r \frac {\partial \dot A_e} {\partial r} + \frac {\partial^2 \dot A_e} {\partial z^2} - \frac {\dot A_e} {r^2} \approx i \omega \sigma \mu \mu_0 \dot A_0 + i \omega \sigma \mu \mu_0 \dot A_e. $$ В отличие от исходного векторного \eqref{base_eq}, данное уравнение является скалярным, что существенно упрощает его решение.

Уравнение, как и исходное, описывает магнитное поле вихревых токов в пределах проводящего тела и позволяет найти \(\dot A_e\), а значит и полное магнитное поле \(\dot A = \dot A_0 + \dot A_e\) в любой точке внутри рассматриваемого проводящего предмета. Тогда сами вихревые токи могут быть найдены с помощью \eqref{j_from_a}. Рассчитав вихревые токи, не составит труда определить магнитное поле вихревых токов и полное магнитное поле в любой точке пространства. Таким образом, решив уравнение, тем самым решим все стоящие перед нами задачи.

Решать уравнение будем далее, используя численные методы: "Численное решение задачи о вихревых токах при наличии осевой симметрии".

author: hamper; date: 2020-02-11
  Рейтинг@Mail.ru