[Home] [Donate!] [Контакты]

Теоретическая предельная глубина обнаружения

Довольно интересен вопрос - на какой наибольшей глубине металлоискатель способен ещё хоть что-то обнаружить? Наибольшая глубина обнаружения зависит от чувствительности металлоискателя и используемой катушки. Попробуем выяснить, каким образом...

Оглавление
Теоретическая предельная глубина обнаружения
   Расчёт влияния на катушку бесконечно большого объекта с плоской поверхностью
   Наиболее оптимистичная оценка предельной глубины
   Более реалистичная оценка предельной глубины
   Источники
Металлоискатели (общие вопросы) 
Характеристики металлоискателя 
Элементарная теория металлоискателя 


Расчёт влияния на катушку бесконечно большого объекта с плоской поверхностью

Для любого прибора существует такая глубина, зависящая от его чувствительности, при превышении которой он в принципе не сможет обнаружить никакой предмет. Каким бы большим предмет ни был, даже если он бесконечно большой. Вычислим эту глубину.

Будем предполагать, что поиск происходит в идеальных условиях (абсолютно непроводящий и немагнитный грунт, нет каких-либо иных мешающих факторов).

Для вычисления предельной глубины, будем рассматривать изменение индуктивности катушки под влиянием предмета с бесконечно большой плоской поверхностью (рис. %img:intro). Материал будем считать либо имеющим нулевую удельную проводимость и бесконечно большую магнитную проницаемость, либо бесконечную удельную проводимость и единичную относительную проницаемость. Влияние такого предмета эквивалентно влиянию идеального плоского магнитного или электромагнитного экрана соответственно.

К расчёту предельной глубины обнаружения. Рис. %img:intro

Задачу в предложенной формулировке проще всего решить с помощью метода зеркальных изображений, который разработан в электродинамике специально для подобных ситуаций с плоской бесконечной границей между двумя разными средами. Можно показать, что магнитное поле в первой среде при наличии экрана будет точно таким как в случае, если всё пространство заполнено первой средой, а вместо экрана, симметрично границе раздела двух сред, размещена точно такая же катушка с таким же по величине током (изображение действительной катушки). Ток в катушке-изображении направлен так же, как в действительной катушке, если экран магнитный (рис. %img:img1) и противоположно, если экран электромагнитный (рис. %img:img2). Поэтому определение влияния экрана на индуктивность катушки сводится к расчёту взаимной индуктивности двух одинаковых соосных катушек с расстоянием между ними 2*h, где h - расстояние от катушки до экрана (бесконечно большого предмета).

Изображение катушки в идеальном магнитном экране. Рис. %img:img1. Изображение катушки в идеальном магнитном экране

Изображение катушки в идеальном электромагнитном экране. Рис. %img:img2. Изображение катушки в идеальном электромагнитном экране

Воздействие бесконечно большого ферромагнитного объекта получается по абсолютной величине таким же, как бесконечно большого идеально проводящего объекта, но противоположным по знаку. Поэтому можно рассмотреть какой-то один случай.

Напряжение на катушке (комплексная амплитуда) рассчитывается как $$ \dot U_1 = j \omega L_1 \dot I_1 + j \omega M \dot I_2, $$ а с учётом того, что для случая "отражения" в идеальном экране \(\dot I_2 = \pm \dot I_1\), получаем $$ \dot U_1 = j \omega \dot I_1 (L_1 \pm M). $$ Знак определяется типом экрана, "+" соответствует идеальному магнитному, а знак "-" соответствует идеальному электромагнитному экрану.

Мы получили, что абсолютное изменение индуктивности катушки равно взаимной индуктивности между катушкой и её изображением, $$ \Delta L_1 = \pm M. $$

Взаимная индуктивность двух соосных круговых контуров одинакового радиуса a, находящихся на расстоянии x при малых значениях величины \(\gamma=2a/x\) (т.е. при достаточно большом удалении контуров друг от друга) $$ M \approx \frac {\mu_0 \pi a} {16} \gamma^3 \left( 1 - \frac 3 4 \gamma^2 + \frac {75} {128} \gamma^4 - \frac {245} {512} \gamma^6 + \dots \right) $$ (подробнее о вычислении индуктивностей и взаимных индуктивностей различных катушек смотрите в [%link:calc_l]). Считая размеры поперечного сечения катушки малыми по сравнению с размерами катушки, а бесконечно большой объект (или экран) достаточно удалённым, ограничимся первым членом ряда. С учётом того, что катушка содержит n1 витков, получаем $$ |\Delta L_1| = M \approx \frac {\mu_0 \pi n_1^2 a_1^4} {16 h^3}, \\ |\varepsilon_{L1}| = \frac {|\Delta L_1|} {L_1}, $$ здесь мы также учли, что расстояние между катушкой и её изображением в 2 раза больше расстояния между катушкой и экраном, x=2*h. Индуктивность катушки мы оценивали как \(L_1 \approx 4.242 \mu_0 n_1^2 a_1\), тогда для отклика на бесконечно большой объект получаем значение $$ \begin{equation} |\varepsilon_{L1}| \approx \frac {a_1^3} {21.60 h^3}. \label{eps_for_inf} \end{equation} $$

Наиболее оптимистичная оценка предельной глубины

Если для объектов конечных размеров мы получали, что величина отклика обратно пропорциональна 6-й степени глубины (при достаточно большой глубине), то для бесконечно большого объекта имеем обратную пропорциональность 3-й степени глубины, что означает значительно более медленное уменьшение отклика с глубиной.

Обозначив через p порог чувствительности прибора (минимальный отклик, который прибор способен обнаружить), можем из соотношения \eqref{eps_for_inf} выразить максимальную глубину, на которой может быть обнаружен бесконечно большой объект $$ \begin{equation} h_{max} \approx \frac {a_1} {\sqrt[3]{21.60 p}}. \label{hmax} \end{equation} $$ Подсчёт для разных значений p даёт следующие результаты

p 10-4 10-5 10-6 10-7
hmax 7.7*a1 17*a1 36*a1 77*a1

Напомним, что чувствительностью порядка 10-4 обладает металлоискатель "на биениях"; величина 10-5 типична для неплохого прибора на основе цифрового измерения частоты; чувствительность порядка 10-6 способен продемонстрировать хороший индукционный металлоискатель; 10-7 - это очень хороший показатель для очень хорошего прибора.

Полученные оценки оказываются избыточно оптимистичными - для очень хороших металлоискателей с катушкой диаметром около 30 см теоретическая предельная глубина поиска оказывается в районе 10 м.

На самом деле на таких глубинах, даваемых формулой \eqref{hmax} ничего обнаружить не получится, даже в идеальных условиях, без влияния грунта. И не только потому, что отклик на реальный объект меньше, чем на бесконечно протяжённый. Даже если объект в действительности был бы бесконечно большим, обнаружить его не удалось бы - отклик на него при указанной глубине оказывается не только предельно слабым, но и статичным, т.е. не изменяющимся по величине при перемещениях катушки в горизонтальной плоскости. Так что подобный отклик неотличим от смещения "нуля" прибора и должен быть отфильтрован.

Более реалистичная оценка предельной глубины

Рассмотрим другую оценку максимальной глубины поиска. Поскольку отклик на бесконечный объект не изменяется при перемещении катушки в горизонтальной плоскости, предположим, что для его обнаружения или для обнаружения просто очень больших объектов будем перемещать катушку также и по вертикали. Если при перемещении катушки по вертикали на расстояние x, отклик изменяется на величину, хотя бы равную порогу чувствительности прибора p, то объект может быть обнаружен. С учётом \eqref{eps_for_inf}, запишем $$ p = |\Delta \varepsilon_{L1}| \approx \frac {3 a_1^3} {21.60 h_{max}^4} x \approx \frac {a_1^3} {7.20 h_{max}^4} x, $$ тогда максимальная глубина обнаружения $$ h_{max} \approx \sqrt[4]{\frac {a_1^3 x} {7.20 p}}. $$

Если зададимся значениями a1 = 0.1 м и x = 0.1 м, то получим следующие значения предельной глубины для приборов с различной чувствительностью:

p 10-4 10-5 10-6 10-7
hmax, м
(a1 = x = 0.1 м)
0.61 1.1 1.9 3.4

Источники

%link:calc_l. "Калантаров П. Л., Цейтлин Л. А. Расчёт индуктивностей: Справочная книга (3-е изд.), 1986.

author: hamper; date: 2020-01-30
  @Mail.ru