Рис. %img:i1
| [Home] | [Donate!] [Контакты] |
Умножитель напряжения - разновидность выпрямителя переменного тока. Отличительная особенность умножителя состоит в том, что напряжение на его выходе в несколько раз превышает амплитуду переменного напряжения на входе. Целочисленный коэффициент умножения зависит от конструкции умножителя.
В качестве примера на рис. 1 приведена схема умножителя на 6. Здесь R - подключённая к выходу умножителя нагрузка.
В данном документе затрагиваются вопросы схемотехники умножителей напряжения, описывается принцип действия умножителей, исследуются их характеристики, приводятся формулы для расчёта. Здесь рассматривается один тип умножителей, но умножители этого типа используются чаще всего. Они лучше всего подходят для получения высоких напряжений, но в целом, достаточно универсальны. О других типах умножителей и возможных областях их применения речь идёт в документе "Типы однофазных умножителей напряжения".
Оглавление
Как правило, умножители напряжения применяются в высоковольтной технике, обычно в тех случаях, когда ток нагрузки мал. Ранее использовались в качестве источников анодного напряжения для кинескопов (в телевизорах, мониторах) и электронно-лучевых трубок (в аналоговых осциллографах). Могут использоваться, например, в качестве источников напряжения для счётчиков Гейгера в дозиметрах, для питания рентгеновских трубок малой мощности.
Но было бы ошибкой полагать, что областью применения умножителей являются исключительно высоковольтные маломощные источники питания. При правильном подборе схемы и параметров элементов вполне возможно использовать умножители в схемах бестрансформаторных повышающих источников напряжения самого разного назначения, в том числе и в области низких напряжений при достаточно больших мощностях нагрузки. Подробнее о разных типах умножителей, некоторые из которых могут быть более предпочтительными при низких напряжениях, смотрите в документе "Типы однофазных умножителей напряжения".
В области высоких напряжений, за счёт использования умножителя, мы получаем возможность применять для питания источники переменного тока с меньшим напряжением. Допустим, если умножитель подключается к трансформатору, то можно использовать трансформатор с напряжением на вторичной обмотке в несколько раз меньше, чем в случае, когда используется выпрямитель без умножения. Благодаря этому сокращаются габариты, сложность изготовления, цена - как трансформатора, так и устройства в целом. Польза от применения умножителей вполне очевидна. Нельзя сказать, что настолько же очевиден принцип действия умножителей.
С одной стороны, умножители - достаточно простые устройства с регулярной структурой в виде одинаковых звеньев, связанных друг с другом. Собрать умножитель напряжения под силу даже школьнику, в чём можно убедиться по размещённым в Internet материалам с эффектными демонстрациями высоковольтных источников на основе внушительных умножителей, содержащих десятки звеньев.
С другой стороны, умножители становятся предметом рассмотрения целых диссертаций. А профессиональные разработчики электроники, случается, умудряются допустить ошибки в простейших умножителях и запускают дефектные устройства в серийное производство (proof)!
На самом деле, принцип действия умножителя описать нетрудно, гораздо более сложен точный анализ в аналитической форме. Даже для случая идеализированного умножителя, анализ требует довольно громоздких математических выкладок.
Умножитель напряжения состоит из нескольких звеньев, каждое из которых содержит один диод и один конденсатор. Коэффициент умножения равен количеству звеньев. В вырожденном случае с коэффициентом умножения 1, получаем просто однополупериодный выпрямитель, рис. %img:i2.
Во время того полупериода, когда диод D1 открывается, конденсатор C1 заряжается через диод до напряжения U1, равного амплитуде напряжения Ua питающего выпрямитель источника u (если считать элементы цепи идеальными). К конденсатору C1 можно подключить какую-то нагрузку, на схеме обозначена как R. Если потребляемый нагрузкой ток равен нулю, то зарядившись до амплитудного напряжения, конденсатор C1 в дальнейшем сохраняет своё напряжение неизменным, а диод D1 в таком случае остаётся всё время закрытым; потребляемый от источника ток равен 0.
При этом напряжение между точками A1, B1 схемы равно
UA1B1=u(t)+U1=u(t)+Ua,
где мгновенное значение напряжения источника изменяется в пределах от -Ua до +Ua, а значит, напряжение между указанными точками изменяется в пределах от 0 до +2*Ua, достигая пикового значения, равного двойной амплитуде источника.
Поэтому, если к точкам A1, B1 подключим ещё одну D-C цепочку, как показано на рис. %img:i3, то, в установившемся режиме импульсы напряжения между этими точками зарядят конденсатор C2 до напряжения 2*Ua. Диод D2 предотвращает разряд конденсатора C2 в те моменты времени, когда напряжение UA1B1 меньше напряжения U2 на конденсаторе C2. Конденсатор C1, как и в предыдущем случае, заряжен до напряжения Ua (в установившемся режиме без нагрузки).
Таким образом, мы получили простейший невырожденный умножитель напряжения, умножитель на 2 или удвоитель напряжения. Напряжение между точками A2, B2 в этой схеме равно
UA2B2=u(t)+U1-U2=u(t)+Ua-2*Ua,
UA2B2=u(t)-Ua,
изменяется от -2*Ua до 0. Если к точкам A2, B2 подключим ещё одну D-C цепочку (рис. %img:i4), то конденсатор C3 зарядится до напряжения 2*Ua, а общее напряжение на конденсаторах C1, C3, которые оказываются соединёнными последовательно, составит 3*Ua, т.е. мы получили умножитель напряжения на 3. В свою очередь, между точками A3, B3 этой схемы напряжение равно u(t)+Ua, значит можно подключить ещё одну D-C цепь, в которой C4 зарядится до напряжения 2*Ua, а напряжение на последовательно соединённых конденсаторах будет равно 4*Ua, рис. %img:i5. Таким образом, получим умножитель на 4.
Так как напряжение на диоде в любом звене равно входному переменному + постоянная составляющая, по модулю равная амплитуде входного переменного напряжения (+Ua для нечётных диодов и -Ua для чётных), то процесс наращивания умножителя подключением дополнительных звеньев может быть продолжен и дальше, до получения требуемого коэффициента умножения. Напряжение на каждом конденсаторе будет равно 2*Ua, кроме первого, на котором оно равно Ua. В случае умножителя с нечётным коэффициентом, нагрузка подключается к верхним по схеме конденсаторам (здесь они имеют нечётные коэффициенты), а случае чётного - к нижним по схеме. Коэффициент умножения равен количеству звеньев или, что то же самое, количеству конденсаторов (или диодов).
С учётом сказанного, становится понятно, что при подборе элементной базы для умножителя, конденсаторы следует выбирать рассчитанными на двойное амплитудное напряжение источника питания, кроме первого по схеме, который должен быть рассчитан на амплитудное напряжение источника. Все диоды должны быть рассчитаны на двойное амплитудное обратное напряжение. Естественно, необходимо выбирать элементы с достаточным запасом по напряжению для обеспечения высокой надёжности (обычно не менее 20% запаса).
Как можно увидеть из приведённых схем, при использовании умножителя напряжения с любым чётным коэффициентом умножения, отсутствует постоянная составляющая потребляемого от источника питания тока (хотя бы потому, что подключение осуществляется через конденсатор C1, который просто не может пропустить постоянную составляющую). В случае умножителя с нечётным коэффициентом, постоянная составляющая тока через источник присутствует. Можно показать, что в установившемся режиме она равна току через нагрузку.
Очень часто схему умножителя изображают с диагональным расположением диодов. Можно сказать, это "классический" вариант изображения умножителей. Например, на рис. %img:i6 в таком виде приведена схема для умножителя на чётное число m.
На схеме один из выводов источника питания подключён к общему проводу, этот же общий провод используется для подключения нагрузки.
Если изменить направление включения диодов на противоположное, то получим умножитель с отрицательным потенциалом на выходе относительно общего провода. Такая схема изображена на рис. %img:i7.
Можно объединить схемы с положительным и отрицательным потенциалами выхода и получить двухполярную схему, как это показано на рис %img:i8. Напряжение между каждым из полюсов и общим проводом в этой схеме в 4 раза больше амплитуды входного напряжения. Соответственно, напряжение между полюсами будет в 8 раз больше амплитуды входного напряжения.
Если источник напряжения, питающий умножитель, не требует, чтобы один из выходов был обязательно соединён с общим проводом, т.е. может быть плавающим, то мы можем использовать схему, подобную двухполярной, но один из полюсов соединить с общим проводом, как показано на рис. %img:i9. Это возможно, например, если в качестве источника напряжения для умножителя используется вторичная обмотка трансформатора и невозможно, если источник переменного напряжения - бестрансформаторный инвертор (не считая варианта, когда сам инвертор полностью изолирован от общего провода устройства и сам питается через разделительный трансформатор).
Недостаток этой "двусторонней" схемы в том, что весь источник находится под высоким потенциалом относительно общего провода, для данного примера это величина Vbase, в 4 раза превышающая амплитуду питающего напряжения. Это означает, что для питания такого умножителя должен использоваться трансформатор, который в данном случае будет являться не только согласующим, но и обеспечивающим гальваническую развязку (бестрансформаторные источники переменного напряжения в данном случае не годятся). При этом вторичная обмотка, полностью находящаяся под высоким напряжением относительно общего провода, требует тщательной изоляции. Достоинство схемы - у неё лучше переходная и нагрузочная характеристики, т.е. меньше время переходного процесса после включения и меньше падение напряжения на выходе под нагрузкой, чем у "одностороннего" умножителя с таким же коэффициентом. В некоторых случаях нагрузка не требует, чтобы один из её выводов был подключён к общему проводу (допускается плавающее подключение), тогда целесообразно использовать двухполярную схему (рис. %img:i8), которая обладая достоинствами схемы на рис. %img:i9, лишена её недостатков.
В качестве общей точки умножителя, т.е. подключаемой к общему проводу, выбирается точка соединения одного из выводов источника питания и конденсатора, входящего в группу последовательно соединённых конденсаторов, с которых снимается выходное напряжение. В наших обозначениях, при чётном коэффициенте напряжение снимается с чётных конденсаторов (точка соединения u - C2 является общей), а при нечётном - с нечётных конденсаторов (точка соединения u - C1 является общей). На рис. %img:i10a, рис. %img:i10b показаны правильные варианты выбора общей точки для случая нечётного коэффициента умножения напряжения.
На рис. %img:i11, для сравнения, показан неправильный вариант, здесь напряжение на выходе равно u(t)+m*Ua, т.е. кроме требуемой постоянной составляющей, выходное напряжение содержит очень большую переменную составляющую, равную переменному напряжению на входе умножителя. Теоретически, эта составляющая может быть отфильтрована сглаживающим фильтром, например, RC-цепью, обязательно с высоким входным сопротивлением для переменной составляющей (иначе будет нарушен режим работы умножителя и постоянная составляющая выходного напряжения упадёт в разы относительно номинального значения). Практически же, подобные ухищрения лишены какого-либо смысла.
С другой стороны, бывают ситуации, когда первостепенное значение имеет величина пикового напряжения на выходе умножителя и наличие переменной составляющей допустимо. В таких случаях использовать схему включения, изображённую на рис. %img:i11 возможно и даже выгодно, поскольку она позволяет сэкономить на одном D-C звене: с помощью цепи из m звеньев, получаем выходное пиковое напряжение, равное (m+1)*Ua.
Кроме уже рассмотренных, традиционных, возможен ещё один вариант изображения тех же самых схем умножителей, но с линейным расположением диодов на схемах (рис. %img:i12). Данный вариант изображения схемы также отражает регулярность структуры умножителя, благодаря чему схема умножителя на любой коэффициент может быть получена состыковкой друг с другом требуемого количества одинаковых звеньев.
В заключение этого пункта отметим, что в документе "Типы однофазных умножителей напряжения" даётся другой вариант объяснения принципа действия умножителя, который является более универсальным, он применим к умножителям любого типа с любой структурой.
После включения умножителя, установлению окончательного выходного напряжения предшествует переходный процесс. Вначале рассмотрим его на примере удвоителя напряжения. После заряда конденсатора C1 через диод D1 во время отрицательной полуволны, во время положительной полуволны конденсатор C1, соединённый последовательно с источником, заряжает конденсатор C2 через диод D2. Сам конденсатор C1 при этом частично разряжается, так что в процессе первого цикла работы удвоителя на выходе устанавливается напряжение, меньшее величины 2*Ua.
Далее D2 закрывается, потом снова происходит подзаряд C1, затем, во время следующей положительной волны, источник и C1 снова заряжают C2 (через диод D2). Но теперь C2 уже имеет начальное напряжение, приложенное встречно по отношению к u+U1, поэтому от C1 к C2 перейдёт меньший по величине заряд по сравнению с предыдущим циклом. Соответственно, напряжение на C2 увеличится, а на C1 уменьшится, но изменения напряжений на конденсаторах будут меньше, чем во время предыдущего цикла.
Процессы подзаряда C1 от источника и подзаряда от него C2 будут повторятся и в пределе напряжение на C2 будет стремится к значению 2*Ua, на конденсаторе C1 - к значению Ua. При достижении этих значений, перекачка заряда от C1 к C2 прекращается, а диоды D1 и D2 остаются постоянно запертыми (C1 заряжен до Ua, поэтому отрицательного амплитудного напряжения источника недостаточно, чтобы открыть D1, C2 заряжен до 2*Ua, поэтому суммарного положительного амплитудного напряжения источника и напряжения на C1 недостаточно, чтобы открыть D2). Потребляемый от источника ток становится равным нулю.
На рис. %img:i14 изображён график выходного напряжения удвоителя, иллюстрирующий переходные процессы после включения. Источник переменного напряжения в этом примере имеет амплитуду 100 В, частоту 50 Гц. Конденсаторы C1, C2 имеют одинаковую ёмкость. Если увеличивать ёмкость C1 по сравнению с ёмкостью C2, то длительность переходного процесса будет сокращаться, а если уменьшать - расти. Напряжение холостого хода не зависит от абсолютной величины и соотношения ёмкостей конденсаторов. Однако под нагрузкой, ёмкости конденсаторов существенно влияют на выходное напряжение и величину его пульсаций.
Ступенчатый характер нарастания выходного напряжения во время переходного процесса - это скорее исключение, так как имеет место только в случае удвоителя напряжения. Для умножителей с коэффициентом более двух, переходный процесс выглядит наподобие того, что изображено на рис. %img:i15 (умножитель на 4, Ua=100 В, T=20 мс).
Подробнее об анализе переходного процесса: "Переходный процесс в умножителе напряжения при включении".
Будем считать, что умножитель является идеальным и состоит из одинаковых звеньев (с конденсаторами одинаковой ёмкости); подключён к источнику питания с мгновенным напряжением, изменяющимся по гармоническому закону. Используемые обозначения:
m - коэффициент умножения напряжения, равный количеству звеньев, каждое из которых содержит 1 конденсатор и 1 диод; является целым числом, \(m \ge 2\);
Ua - амплитуда напряжения источника питания;
F - частота колебаний источника, T=1/F - период;
C - ёмкость конденсатора (в рассматриваемых умножителях все звенья одинаковые);
Uout - выходное напряжение умножителя;
I - потребляемый нагрузкой ток.
Напряжение на выходе умножителя в установившемся режиме под нагрузкой $$ U_{out}=mU_a-\frac I{2FC} \left( \frac{m^3}6+\frac{m^2}8+\frac m{12} \right). \tag{1} $$ Напряжение при наличии нагрузки является пульсирующим, данная формула даёт пиковое значение напряжение (на максимуме пульсации). Считаем, что I=const.
Можно показать, что не имеет смысла использовать умножители при таких нагрузках, когда падение напряжения относительно значения в режиме холостого хода составляет около 35% или более. Дело в том, что при работе в таком режиме, если мы сократим количество звеньев умножителя на 1, то выходное напряжение в новом, более простом умножителе, окажется не меньше, а больше - эффект от уменьшения падения напряжения под нагрузкой при новом значении m превзойдёт эффект от уменьшения коэффициента умножения.
Формулу (1) можно записать в виде Uout=m*Ua-Rint*I, где Rint - внутреннее сопротивление умножителя как источника напряжения; это внутреннее сопротивление очень быстро растёт с ростом коэффициента умножения. Стоит подчеркнуть, что формула описывает статическую характеристику умножителя, показывает зависимость выходного напряжения от тока нагрузки в установившемся режиме. Для кратковременных импульсов тока нагрузки, умножитель имеет низкое внутреннее сопротивление. Это объясняется тем, что питание нагрузки, фактически, осуществляется от батареи заряженных конденсаторов, за счёт чего умножитель может отдавать в нагрузку очень большую мощность в импульсном режиме.
Строго говоря, формула (1) относится к умножителям с чётным коэффициентом. Формула для случая нечётного коэффициента умножения m немного отличается: $$ U_{out}=mU_a-\frac I{2FC} \left( \frac{m^3}6+\frac{m^2}8-\frac m 6-\frac 1 8 \right), \tag{2} $$ впрочем, расхождение настолько незначительное, что во всех случаях можно пользоваться предыдущей формулой (1).
Размах пульсаций $$ h=\frac I{2FC} \left(\frac{m^2}4+\frac m 2\right), \tag{3} $$ амплитуда пульсаций U~=h/2.
Формула (1) даёт пиковое выходное напряжение, но в некоторых случаях более подходящей для рассмотрения является средняя величина выходного напряжения, которая равна, с учётом амплитуды пульсаций, $$ {\bar U}_{out}=U_{out}-h/2=mU_a-\frac I{2FC} \left( \frac{m^3}6+\frac{m^2}4+\frac m 3 \right). \tag{4} $$
Формула для размаха пульсаций (3), строго говоря, справедлива для случаев малого тока нагрузки, когда время переключения диодов в умножителе мало и им можно пренебречь, в противном случае длительность процессов переключения должна быть учтена. Процессы в умножителе носят периодический характер с периодом T, каждый период может быть разделён на две равные части, на два полутакта. В свою очередь, каждый полутакт состоит из двух фаз: пассивной, длительностью θ и активной, в процессе которой происходит переключение диодов и передача зарядов между конденсаторами, длительность активной фазы составляет T/2-θ. Так вот, величину θ или длительность пассивной фазы можно найти, решая уравнение $$ -U_a\left(\cos\frac{2\pi\theta}T+1\right)+\frac I C \theta\left(-\frac{3m}4+\frac 1 2\right)+\frac I C \frac T 2 \left(\frac{3m}4-\frac 1 2+\frac{m^2}2\right)=0. \tag{5} $$ Это уравнение может быть решено относительно θ только численными методами. При малых токах нагрузки можно использовать приближённую формулу $$ \theta \approx \frac 1 {2\pi F} \arccos\left( \frac{Im^2}{4FCU_a}-1 \right), \tag{6} $$ но если мы хотим учесть эффекты, связанные именно со значительностью токов, применять приближённую формулу не вполне правомерно.
Оценив значение θ, можем уточнить величину размаха пульсаций, которая окажется меньше, чем даёт формула (3) и составит $$ h=\frac I{2FC} \frac{m^2}4+\frac I C \theta \frac m 2 \tag{7} $$
Среднее значение тока для всех диодов равно току нагрузки. Но время, в течение которого диод находится в открытом состоянии и пропускает ток, во много раз меньше длительности периода, так что импульсный ток через диоды многократно превышает среднее значение тока. Наибольший импульсный ток протекает через первый диод, его значение может быть оценено величиной $$ I_{D1} \approx \sqrt{8{\pi}^2 FCU_a I}, \tag{8} $$ наименьшее значение импульсного тока наблюдается через последний диод умножителя, оно в два раза меньше импульсного тока через первый диод и составляет примерно $$ I_{Dm} \approx \sqrt{2{\pi}^2 FCU_a I}. \tag{9} $$ Импульсный ток через остальные диоды имеет некоторые промежуточные значения, так что при выборе типа диодов можно ориентироваться на величину ID1. Отметим, что формулы для расчёта токов дают значительные погрешности и могут использоваться только для грубой оценки. Также следует учитывать, что речь идёт об установившемся режиме, а во время переходного процесса ток может во много раз превышать указанные здесь величины, если не приняты специальные меры по ограничению тока при включении.
Длительность переходного процесса (для ненагруженного умножителя) может быть оценена с помощью следующей формулы (выходное напряжение умножителя в течение переходного процесса) $$ U_{out} \approx mU_a\left( 1-e^{-\frac{t\ln 16}{Tm^2}} \right). \tag{10} $$ На самом деле, выходное напряжение умножителя во время переходного процесса изменяется не монотонно, а ступенчато (умножитель на 2) или имеет вид затухающего колебательного процесса (умножители с коэффициентом больше 2). В любом случае, выходное напряжение во время переходного процесса можно рассматривать как сумму убывающей переменной составляющей и монотонно возрастающей составляющей, в пределе равной установившемуся значению. Так вот, формула относится к монотонной составляющей. Формула точна в случае удвоителя напряжения в том смысле, что для некоторой последовательности точек, равноотстоящих друг от друга на T, она даёт точные значения; положение первой такой точки зависит от начальной фазы питающего напряжения. Для умножителей с коэффициентом больше двух, формула даёт значительную погрешность на начальном участке, т.к. в действительности выходное напряжение растёт значительно быстрее на этом участке за счёт конденсаторов в начале схемы, переходный процесс в которых завершается быстрее, чем в конденсаторах, более удалённых от входа. После того, как достигается напряжение на выходе порядка 2/3 от установившегося значения, формула даёт достаточно точное значение (точность не хуже 5%, с увеличением аргумента ошибка становится ещё меньше) для умножителей с любым коэффициентом. Указанный уровень точности достигается через время $$ t \ge T m^2/\ln 16 $$ от момента включения.
На рис. %img:i16 изображён построенный по формуле (10) график переходного процесса для умножителя на 8 (красная линия) и график реального переходного процесса (синяя линия).
Цель расчёта - определить необходимое количество звеньев умножителя m; параметры конденсаторов (ёмкость C, максимальное напряжение UCmax); подобрать диоды (с учётом максимального обратного напряжения UDmax, прямого импульсного тока IDmax, среднего прямого тока IDa).
В качестве исходных данных будем использовать параметры источника питания умножителя, требования к выходным характеристикам умножителя, потребляемый нагрузкой ток:
Ua - амплитуда питающего напряжения;
F - частота источника, T - период, T=1/F;
Uout - требуемое выходное напряжение;
\( |\Delta {\bar U}_{out}|, \, |{\bar \varepsilon}_{out}| \) - допустимая абсолютная или относительная нестабильность напряжения при изменении тока нагрузки от 0 до максимального значения;
U~ - максимально допустимая амплитуда пульсаций на выходе умножителя;
I - максимальный ток нагрузки.
1. Прежде всего, определяемся с коэффициентом умножения m, в качестве m выбираем ближайшее большее целое к числу $$ m^*=U_{out}/U_a. $$ При этом учитываем дополнительные требования к умножителю, прежде всего то, что в случае умножителя с чётным коэффициентом отсутствует постоянная составляющая тока через питающий источник, а в случае нечётного коэффициента - постоянная составляющая имеется и равна току нагрузки. В связи с этим, возможно, потребуется выбирать m среди только чётных, либо только нечётных значений, в зависимости от того, допустимо ли протекание постоянной составляющей тока через источник или нет (в некоторых случаях постоянная составляющая может быть нежелательной, например из-за подмагничивания сердечника трансформатора), или может быть наоборот, требуется наличие постоянной составляющей тока через источник. Возможно, после выбора m окажется, что mUa отличается от Uout на недопустимо большую величину, это значит, что потребуется скорректировать Ua: $$ U_a=U_{out}/m $$ (или уменьшать выходное напряжение, например, с помощью делителя, но использование делителя сильно увеличит потребляемый от умножителя ток).
2. Выбираем конденсаторы. Напряжение на конденсаторах достигает двойного амплитудного значения источника питания, кроме первого конденсатора, напряжение на котором равно амплитуде источника. Конденсаторы выбираем с соответствующими максимально допустимыми значениями напряжений, с запасом 20..30% для обеспечения большей надёжности:
$$
U_{C1max}=(1.2\ldots 1.3)U_a, \\
U_{Cmax}=(1.2\ldots 1.3)2U_a.
$$
В качестве Ua берём наибольшее значение, которого может достигать амплитуда (верхний допуск).
Ёмкость выбираем таким образом, чтобы выполнялись требования к нагрузочной характеристике и уровню пульсаций выходного напряжения. Из формул (3), (4) следует, что
$$
С \ge \frac I{2F|\Delta {\bar U}_{out}|} \left( \frac{m^3}6+\frac{m^2}4+\frac m 3 \right), \\
C \ge \frac I{16FU_{\sim}} (m^2+2m)
$$
(здесь мы ориентируемся на среднее значение выходного напряжения под нагрузкой). Должны выполняться оба неравенства, поэтому выбираем значение C большее или равное наибольшему из двух вычисленных значений. Если падение напряжение под нагрузкой задано относительной величиной, то к абсолютной величине переходим с помощью соотношения
$$
|\Delta {\bar U}_{out}|=U_{out} |{\bar \varepsilon}_{out}|.
$$
Если полученное значение ёмкости оказывается слишком большим, следует рассмотреть один из следующих возможных вариантов: а) увеличение амплитуды источника Ua с целью уменьшения требуемого коэффициента умножения - уменьшение m в два раза позволяет уменьшить ёмкость почти в 8 раз или 4 раза, в зависимости от того какой фактор - падение напряжения под нагрузкой или амплитуда пульсаций является определяющим в выборе ёмкости; б) увеличение частоты источника - требующаяся ёмкость конденсаторов обратно пропорциональна частоте. Кроме того, если определяющим фактором при выборе ёмкости является уровень пульсаций, можно рассмотреть вопрос применения дополнительного сглаживающего фильтра на выходе умножителя. Если определяющий фактор - стабильность напряжения при изменениях тока нагрузки, то можно рассмотреть вопрос применения средств активной стабилизации с контролем выходного напряжения и цепью обратной связи.
Если потребляемый нагрузкой ток крайне мал, следует оценить и учесть связанные с монтажом токи утечки, утечки конденсаторов, обратные токи диодов. Если получаемые напряжения являются очень высокими, требуется учитывать специфические для высоковольтной техники потери. В любом случае, выбранная ёмкость конденсаторов должна во много раз превышать паразитные монтажные ёмкости и ёмкости диодов.
3. Выбираем диоды. Обратное напряжение на всех диодах достигает двойного амплитудного напряжения источника. Диоды берём с запасом по допустимому обратному напряжению: $$ U_{Dmax}=(1.2\ldots 1.3)2U_a. $$ Среднее значение прямого тока через диод равно току нагрузки, как правило, это небольшая величина и определяющим фактором при выборе диода является максимальное значение тока в импульсе. Амплитуда импульсов тока через диоды может быть оценена с помощью формул $$ I_{D1} \approx \sqrt{8{\pi}^2 FCU_a I}, \\ I_{Dm} \approx \sqrt{2{\pi}^2 FCU_a I}, $$ которые дают значения, отличающиеся в два раза. Большее значение соответствует амплитуде импульсов тока через первый диод, меньшее - через последний, промежуточным диодам соответствуют промежуточные значения тока.
Данные значения указаны для установившегося режима, а в момент включения возможен многократно превышающий их бросок тока. Очень больших значений, определяемых только внутренним сопротивлением диодов и источника, может достигать ток при осуществлении коммутации в момент, когда мгновенное напряжение источника существенно отлично от нуля. В наиболее тяжёлых условиях в момент включения оказываются диоды в начале схемы. Учитывая сказанное, следует либо выбирать диоды с большим запасом по току, либо принимать меры по ограничению тока при включении (например, использовать плавный запуск с постепенным нарастанием амплитуды напряжения источника питания или использовать какую либо схему ограничения входного тока умножителя).
Если импульсный ток в установившемся режиме оказывается слишком большим, можно попытаться снизить его за счёт уменьшения ёмкости конденсаторов, пересмотрев и смягчив требования к стабильности выходного напряжения под нагрузкой и к уровню пульсаций на выходе.
4. После того, как параметры элементов выбраны, рассчитываем окончательные характеристики умножителя (выходное напряжение, падение напряжения под нагрузкой, уровень пульсаций).
Предположим, требуется собрать умножитель, работающий от сети и дающий на выходе напряжение 2000 В. Ток нагрузки составляет 0.5 мА (иными словами, потребляемая нагрузкой мощность равна 1 Вт). Падение напряжения под нагрузкой не должно превышать 2%. Амплитуда переменной составляющей - не более 10 В (0.5%). Наличие постоянной составляющей тока через источник питания нежелательно (необходимо выбирать чётный коэффициент умножения).
Будем считать, что действующее значение напряжения в сети составляет
U=220 В±10% (198..242 В),
что соответствует амплитуде в пределах
Ua=280..342 В.
Итак, исходные данные и требования к умножителю:
Ua=280..342 В (амплитуда питающего напряжения);
F=50 Гц, T=20 мс (частота, период питающего переменного напряжения);
Uout=2000 В (напряжение на выходе);
|εout|=2% (максимально допустимое падение выходного напряжения под полной нагрузкой);
U~=10 В (максимально допустимая амплитуда пульсаций на выходе);
I=0.5 мА (максимальный ток нагрузки);
m - чётное (имеется особое требование - коэффициент умножения должен быть чётным).
Чтобы напряжение на выходе было не ниже заданного значения 2000 В, требуется коэффициент умножения
$$
m^*=\frac{2000}{280} \approx 7.14,
$$
выбираем m=8, тогда диапазону входных напряжений будет соответствовать выходное напряжение в пределах
Uout=2240..2740 В.
Для получения заданного значения с большей точностью, необходимо стабилизировать амплитуду питающего напряжения на уровне
Ua=Uout/m=2000/8=250 В
(действующее значение около 177 В).
Выбираем ёмкость конденсаторов $$ С \ge \frac I{2F|\Delta {\bar U}_{out}|} \left( \frac{m^3}6+\frac{m^2}4+\frac m 3 \right) = 13\cdot 10^{-6}, \\ C \ge \frac I{16FU_{\sim}} (m^2+2m) \approx 5\cdot 10^{-6}. $$ Ёмкость должна быть не менее 13 мкФ, например, 15 мкФ. Определяющим фактором для выбора ёмкости в данном случае является максимально допустимое падение напряжения под нагрузкой.
Что касается максимально допустимого напряжения конденсаторов, то если приняты меры по стабилизации амплитуды питающего напряжения на уровне 250 В, то можно выбрать значение в районе 600 В (для первого конденсатора достаточно 300..400 В). Если же амплитуда может достигать изначально указанных 342 В, то следует выбирать конденсаторы с рабочим напряжением не менее 800 В (не менее 400 В для первого).
Обратное напряжение на диодах достигает значения 2Ua, диоды выбираем с запасом, подойдут, например, с максимально допустимым обратным напряжением 800..1000 В. Импульсный ток через диоды в установившемся режиме будет находиться в пределах от $$ I_{Dm} \approx \sqrt{2{\pi}^2 FCU_a I} \approx 43 mA $$ до $$ I_{D1} \approx \sqrt{8{\pi}^2 FCU_a I} \approx 86 mA. $$ Для ограничения стартового тока можно использовать простейший вариант - включить на входе последовательно источнику питающего напряжения резистор с небольшим сопротивлением. При сопротивлении 15 Ом, с одной стороны, импульсный ток при включении ни при каких условиях не превысит 25 А, а в большинстве случаев будет много меньше, что даёт возможность использовать обычный 1N4007. С другой стороны, падение напряжения на резисторе в рабочем режиме будет незначительным.
Итак, получили следующее. Требуется источник переменного напряжения с амплитудой 250 В; коэффициент умножения m=8 (8 диодов, 8 конденсаторов в схеме); номинальное выходное напряжение без нагрузки 2000 В; падение напряжения (по среднему значению) под нагрузкой 0.5 мА составит $$ |\Delta {\bar U}_{out}|=\frac I{2FC} \left( \frac{m^3}6+\frac{m^2}4+\frac m 3 \right) \approx 35 В, \\ |{\bar \varepsilon}_{out}|=|\Delta {\bar U}_{out}|/U_{out} \approx 1.7\%. $$ Размах пульсаций составит около $$ h=\frac I{2FC} \left(\frac{m^2}4+\frac m 2\right) \approx 6.6 В, $$ амплитуда пульсаций U~=h/2 около 3 В, что существенно лучше максимально допустимого по заданию уровня.
Используя соотношение (10), можем оценить длительность переходного процесса в данном умножителе при включении:
$$
t=-\frac{Tm^2}{\ln 16} \ln \varepsilon,
$$
здесь ε - относительная величина отклонения напряжения относительно номинального значения (без нагрузки), при достижении которой считаем переходный процесс завершившимся,
$$
\varepsilon=\frac{mU_a-U_{out}(t)}{mU_a}.
$$
В данном случае, в качестве такого отклонения возьмём величину, равную допустимому отклонению напряжения под нагрузкой, т.е. 2%. Это значит, что мы считаем переходный процесс завершившимся, когда напряжение на выходе умножителя без нагрузки будет отличаться от номинального не более чем на 2%. Другими словами, когда будет достигнут уровень 98% от номинального напряжения.
Вычисляя, получаем t=1.8 с.
Нетрудно заметить, что использование умножителей с питанием от низкочастотных источников является невыгодным: в таких случаях требуются конденсаторы большой ёмкости (которые имеют большой объём и высокую цену); переходный процесс при включении является очень длительным даже в случае умножителей с весьма умеренным коэффициентом умножения.
