[Home]

Метод решения задачи

Вступление

Оглавление
Введение
Применяем первое правило Кирхгофа
Применяем второе правило Кирхгофа
Система уравнений. Подсчёт количества уравнений в системе
Независимость уравнений

Ссылки на внешние документы
Универсальный решатель умножителей
   Решатель умножителей. Постановка задачи
   Метод решения задачи
   Комментарии к решению задачи в Maxima
   Примеры использования решателя



Введение

Нам требуется найти напряжения на всех ветвях электрической цепи - умножителя напряжения. В качестве основного инструмента для решения задачи будем использовать правила Кирхгофа.

Диоды будем рассматривать не как ветви схемы, а как элементы-переключатели, изменяющие топологию электрической цепи. В закрытом, непроводящем состоянии, идеальный диод эквивалентен разрыву и может быть просто исключён из рассмотрения. В открытом, проводящем состоянии, диод объединяет два узла, между которыми он включён, в один общий узел.

Временные диаграммы процессов в умножителе. Рис. %img:dg_v

Используя данный подход, мы считаем, что схема за один рабочий цикл, который длится в течение одного периода колебаний питающего источника, проходит через 4 топологических конфигурации. Две из них являются одинаковыми - это две пассивных фазы, протекающих при закрытых диодах; в это время происходит медленный разряд сглаживающих конденсаторов током нагрузки (рис. %img:dg_v). За каждой пассивной фазой следует активная, когда некоторые диоды открываются и происходит быстрый обмен зарядами между конденсаторами. Активных фаз тоже две, но они отличаются друг от друга по конфигурации. В одном случае открыты диоды с чётными номерами, в другом - с нечётными. В момент перехода к новой конфигурации, заряды конденсаторов и напряжения на них равны соответствующим значениям в конце предыдущей конфигурации.

Умножитель напряжения на 6, тип A. Рис. %img:x6_phs

В качестве простого примера, рассмотрим прохождение через указанные фазы обычного умножителя (типа A) напряжения на 6, рис. %img:x6_phs.

Умножитель напряжения на 6, тип A; эквивалентная схема умножителя в моменты, когда диоды заперты. Рис. %img:x6_ph1

В те моменты времени, когда все диоды закрыты, умножитель может быть представлен эквивалентной схемой, изображённой на рис. %img:x6_ph1. Эквивалентная схема получена из исходной исключением всех диодов.

Умножитель напряжения на 6, тип A; эквивалентная схема умножителя в моменты, когда открыты диоды с нечётными номерами. Рис. %img:x6_ph2

В моменты, когда открыты диоды с нечётными номерами, эквивалентная схема умножителя приобретает вид, изображённый на рис. %img:x6_ph2. Как видим, здесь произошло попарное объединение узлов 1 и 2; 3 и 4; 5 и 6. В результате количество узлов в эквивалентной цепи уменьшилось на 3.

Умножитель напряжения на 6, тип A; эквивалентная схема умножителя в моменты, когда диоды заперты. Рис. %img:x6_ph3

Затем активная фаза сменяется пассивной (рис. %img:x6_ph3). Конфигурация цепи совпадает с конфигурацией предыдущей пассивной фазы - все диоды также закрыты (рис. %img:x6_ph1), отличие состоит только в изменившихся напряжениях на конденсаторах.

Умножитель напряжения на 6, тип A; эквивалентная схема умножителя в моменты, когда открыты диоды с чётными узлами. Рис. %img:x6_ph4

После этого открываются диоды с чётными номерами, в результате чего эквивалентная схема умножителя становится такой, как изображено на рис. %img:x6_ph4. Здесь произошло попарное объединение узлов 2 и 3; 4 и 5; 6 и 7. Общее количество узлов в эквивалентной цепи уменьшилось на 3 и после перенумерации, узлы получат номера от 1 до 5.

Сразу же отметим, что введённое приближение не является абсолютно точным. На самом деле, количество конфигураций, через которые схема проходит за один цикл, больше четырёх. Это связано с тем, что не все диоды открываются одновременно и не все одновременно закрываются. В зависимости от структуры устройства, могут быть группы диодов, которые действительно открываются/закрываются одновременно; какие-то диоды могут переключаться раньше, другие - позже. Так, для умножителей типа A ранее было показано, что переключение диодов происходит строго по порядку - от больших номеров к меньшим ("Переходный процесс в умножителе напряжения при включении"). В других случаях ситуация оказывается иной.

Применяем первое правило Кирхгофа

В соответствии с первым правилом Кирхгофа (далее - 1ПК), в любой момент времени алгебраическая сумма токов, вытекающих из любого узла равна 0. Чтобы применить 1ПК, требуется выбрать положительные направления тока для ветвей рассматриваемой электрической цепи. При записи уравнения для некоторого узла, ток ветви войдёт в сумму со знаком "+", если выбранное для ветви положительное направление соответствует вытекающему из узла току; ток войдёт в сумму со знаком "-", если положительно направленный ток оказывается втекающим в узел (или наоборот - все знаки можем поменять на противоположные - как нам больше нравится).

Пример применения первого правила Кирхгофа. Рис. %img:node_1rk

Например, для узла на рис. %img:node_1rk можем по первому правилу Кирхгофа записать: \(-i_1+i_2+i_3=0\).

Можно записать уравнения по 1ПК сразу для всех узлов схемы в компактной матричной форме. Учтём, что для любого узла уравнение имеет вид: $$ \sum_j A_{kj}i_j=O, $$ где
A[k, j]=+1, если положительный ток ветви j направлен от узла k;
A[k, j]=-1, если положительный ток ветви j направлен к узлу k;
A[k, j]=0, если ветвь j не подключена к узлу k.
Матрица A=||Ak,j||, составленная из элементов -1, 0, +1 описанным выше образом и имеющая размер n*m (n - количество узлов в цепи; m - количество ветвей) носит название узловой матрицы. Если обозначим через i вектор-столбец, элементами которого являются токи ветвей цепи
$$ i=[i_1 i_2 \ldots i_m]^T, $$ то все уравнения, составленные по 1ПК можно записать кратко $$ Ai=O, $$ O - нулевой вектор-столбец размера n*1.

Первое правило Кирхгофа, сформулированное для токов, имеет эквивалентную формулировку для зарядов: алгебраическая сумма зарядов, вытекающих из узла за произвольный промежуток времени равна 0. Формулировка с использованием зарядов в нашем случае удобнее. Дело в том, что умножитель является схемой, преимущественно состоящей из конденсаторов: диоды здесь не рассматриваем как элементы цепи, поэтому цепь оказывается состоящей из конденсаторов, источника и нагрузки. Напряжение на конденсаторе и его заряд связаны простым соотношением, так что из уравнений, записанных по 1ПК, мы легко сможем исключить заряды и перейти к уравнениям, содержащим напряжения. А так как наша окончательная цель - найти напряжения, то это как раз то, что нужно.

Узел, в котором сходятся только конденсаторы. Рис. %img:node_tp1

Предположим, что к некоторому узлу подключены только конденсаторы (например, как на рис. %img:node_tp1). Запишем уравнение в соответствии с 1ПК: \(-q_1+q_2+q_3=0\). Проходящий через конденсатор заряд связан с изменением напряжения на конденсаторе соотношением \(q_j=C_j\Delta U_j\). Для рассматриваемого узла, например, получим: $$ -C_1 \Delta u_1+C_2 \Delta u_2+C_3 \Delta u_3=0, $$ где изменение напряжения на конденсаторе - это разность между напряжением в конце и в начале данного промежутка времени. Например, для первой фазы цикла \(\Delta u_j=ux_j-u_j\), для второй \(\Delta u_j=u1_j-ux_j\) и т.д. В общем виде уравнение для узла k можно записать следующим образом: $$ \sum_j A_{kj}C_j \Delta u_j=O, $$ где A - та же самая узловая матрица, о которой говорилось ранее.

Узел, в котором сходятся конденсаторы и источник тока. Рис. %img:node_tp2

В нашей цепи имеется нагрузка, которая, как мы считаем, потребляет неизменный ток, а значит, может быть заменена эквивалентным ей источником тока (рис. %img:node_tp2). При записи уравнения для узла, к которому подключён источник тока, мы должны учесть заряд, проходящий через источник, равный \(I_L\tau\). В нашем приближении с быстрыми перезарядами его значение составит \(I_L T/2=I_L/(2F)\) для пассивных фаз и 0 для активных фаз цикла, т.к. длительность активных фаз принимаем стремящейся к 0. С учётом сказанного, уравнение для узла, к которому подключена нагрузка, будет иметь следующий общий вид: $$ \sum_j A_{kj}C_j \Delta u_j +\frac {I_L}{2F}=0. $$ Дополнительное слагаемое имеет знак "+", если положительный ток нагрузки направлен от узла; для активных фаз дополнительное слагаемое принимаем равным 0.

Узел, в котором сходятся конденсаторы и источник напряжения. Рис. %img:node_tp3

Осталось рассмотреть ещё одну возможную ситуацию, а именно, когда к узлу подключён источник напряжения (рис. %img:node_tp3). Здесь нам не удастся перейти в уравнении от зарядов к напряжениям - по той причине, что напряжение на источнике напряжения не зависит от тока или прошедшего заряда. Значит, в уравнениях для таких узлов мы не сможем исключить заряд, проходящий через источник напряжения. В настоящее время нас не интересует какие-либо заряды или токи, и мы не хотим рассматривать их как дополнительные неизвестные величины. Поэтому указанные узлы и уравнения для них просто исключаем из рассмотрения. Всего в нашей цепи имеется один источник напряжения и, следовательно, два узла, к которым этот источник подключён. Таким образом, количество исключаемых уравнений равно двум.

Используя 1ПК для цепи, имеющей nn узлов, можно составить nn уравнений, по одному для каждого узла. Но из теории цепей известно, что из них только nn-1 уравнений будут независимыми, а одно оставшееся будет линейной комбинацией остальных*. В нашем случае, исключая из рассмотрения два узла, мы получаем nn-2 уравнения, т.е. на одно меньше, чем существует независимых уравнений по 1ПК. Потеря одного уравнения компенсируется тем, что источник напряжения делает определённой разность потенциалов между двумя узлами, к которым он подключён.

* При условии, что цепь является связной; в умножителях требование связности выполняется.

Пример применения первого правила Кирхгофа для объединяемых узлов. Рис. %img:node_1rku

Важный момент. Как мы уже указывали, процессы переключения диодов будем рассматривать как изменение конфигурации схемы, при котором происходит попарное объединение некоторых узлов. Моменты переключения и порядок нам неизвестны, но, оказывается, в случае применения 1ПК это совершенно несущественно. В самом деле, пусть мы имеем два узла, которые в некоторый момент соединяются вместе (рис. %img:node_1rku). Пока узлы разъединены, для каждого из них выполняется 1ПК, т.е. сумма вытекающих токов для каждого узла равна 0. Но значит, равна и сумма всех токов, вытекающих из двух данных узлов. А после объединения узлов, сумма всех вытекающих токов будет равно 0 уже в силу 1ПК. То есть неважно, в какой момент узлы соединяются, на какое время и соединяются ли вообще - в любом случае, мы имеем право записать уравнение для нескольких узлов как для единого целого. В изображённом на рисунке примере $$ -i_1+i_2+i_3=0, \\ i_4+i_5+i_6=0, \\ -i_1+i_2+i_3+i_4+i_5+i_6=0, $$ независимо от того, являются ли два узла отдельными или объединены в одно целое.

Применяем второе правило Кирхгофа

К каждой из рассматриваемых конфигураций мы применим также второе правило Кирхгофа, в соответствии с которым алгебраическая сумма напряжений* на ветвях в любом замкнутом контуре цепи равна 0. Если 1ПК, сформулированное для зарядов, мы применяли ко всему промежутку времени, в течение которого существует некоторая конфигурация цепи, то 2ПК мы применяем к конкретному моменту времени. В силу выбранного набора переменных, описывающих процессы в умножителе, можем применить 2ПК к начальному моменту существования конфигурации или к конечному. Для активных фаз допустимо применение второго правила только к конечному моменту существования конфигурации, когда завершаются переходные процессы, сопровождающие передачу заряда между конденсаторами. В начальный момент существуют большие импульсные токи, в результате чего существенным образом проявляется неидеальность элементов.

* Здесь под напряжением мы понимаем разность потенциалов, хотя, строго говоря, это не всегда так.

Для пассивных фаз можем применить 2ПК как к конечному моменту, так и к начальному. Для единообразия будем применять также к конечному. Записывать уравнения и для начального, и для конечного момента не следует, так как тогда при объединении с уравнениями по 1ПК мы не получим систему независимых уравнений.

Пример применения второго правила Кирхгофа для замкнутого контура в цепи. Рис. %img:2rk

Пример. Для изображённого на рис. %img:2rk контура, являющегося частью некоторой цепи, можем записать по второму правилу Кирхгофа: \(u_1+u_2-u_3-u_4=0\). На рисунке стрелкой обозначено выбранное направление обхода контура, а знаки "+" отмечают полярность, которая принята положительной для каждой из ветвей.

При записи уравнений по 2ПК уже нельзя сказать, что порядок коммутации неважен. Записывая систему уравнений для конечного момента активной фазы, мы тем самым подразумеваем, что на всех диодах, которые были открыты в данной фазе, напряжения остаются равными нулю в этот момент (т.е. диоды по-прежнему открыты или, по крайней мере, не заперты обратным напряжением). В некоторых случаях это может быть так, допустим, если все диоды закрываются одновременно в самом конце фазы. Иногда это так даже в случае неодновременного закрытия диодов, как в схемах типа A, где диоды закрываются строго в определённой очерёдности, но соотношения, записанные в соответствии с 2ПК, оказываются выполненными до завершения фазы. В общем же случае, на отдельных диодах, которые закрылись раньше остальных, в конечный момент фазы уже может присутствовать обратное напряжение. Мы же, применяя 2ПК к этому моменту, игнорируем данный факт и тем самым вносим некоторую погрешность, величина которой зависит от структуры устройства и параметров элементов.

Считая, что напряжения на открывавшихся в данной фазе диодах в её конечный момент равны нулю, мы считаем, что потенциалы всех узлов диодной цепи достигают своего максимума/минимума одновременно. Это условие не всегда выполняется точно, но примерно можно считать это справедливым. Как правило, вносимая при использовании подобного приближения погрешность невелика (иногда эта погрешность отсутствует вовсе), но возможность её наличия следует учитывать и с известной степенью осторожности относиться к полученным таким образом результатам вычислений.

Система уравнений. Подсчёт количества уравнений в системе

Анализируя процессы в умножителе, мы получили определённое количество линейных уравнений. Для того чтобы система имела единственное решение, необходимо, чтобы количество уравнений в нашей системе было равно количеству неизвестных. В умножителе, содержащем nc конденсаторов, имеется nb=nc+2 ветвей (все конденсаторы, источник напряжения и нагрузка). Требуется определить напряжения на всех ветвях в пять моментов времени: \(u_j, ux_j, u1_j, uy_j, u2_j\), где j=1..nb. Всего получается 5*nb неизвестных.

Подсчитаем количество уравнений. Прежде всего, это уравнения, составленные по первому и по второму правилу Кирхгофа для четырёх конфигураций цепи. В любой конфигурации будет nb ветвей - неизменное количество. Количество узлов будет различным в разных конфигурациях за счёт их объединения открывающимися диодами. Пусть в некоторой конфигурации имеется nx узлов, тогда по первому правилу получаем nx-2 уравнений; по второму правилу, как известно из теории цепей, получаем nb-nx+1 уравнений. Итого, количество уравнений по правилам Кирхгофа для одной конфигурации составит nb-1, а для всех конфигураций
4*(nb-1)=4*nb-4.

Ещё nb уравнений нам даёт условие установившегося режима: \(u2_j=u_j\), тогда всего имеем
5*nb-4
уравнений.

Наконец, ещё 4 уравнения, которые включим в систему - это уравнения источника напряжения (ветвь nb-1=nc+1): $$ u_{nb-1}=+a, \\ ux_{nb-1}=-a, \\ u1_{nb-1}=-a, \\ uy_{nb-1}=+a. $$ Для \(u2_{nb-1}\) уравнение не включаем в систему, так как оно не является независимым в группе уравнений установившегося режима и указанных четырёх уравнений. Из трёх уравнений \(u_{nb-1}=+a, u2_{nb-1}=+a, u2_{nb-1}=u_{nb-1}\), очевидно, что только любых два являются независимыми, а одно из них следует исключить.

Выпишем все полученные уравнения, сохраняя их принадлежность к своей группе. Всего мы имеем 6 групп уравнений в системе: G1..G6. В матричной форме уравнения имеют вид:
G1:
A1*x1=0,
B1*ux=0,

G2:
A2*x2=0,
B2*u1=0,

G3:
A3*x3=0,
B3*uy=0,

G4:
A4*x4=0,
B4*u2=0,

G5:
u2=u1,

G6:
u[nb-1]=+a,
ux[nb-1]=-a,
u1[nb-1]=-a,
uy[nb-1]=+a.

Здесь A1, A2, A3 (A3=A1), A4 - узловые матрицы для каждой из конфигураций с вычеркнутыми строками, соответствующими тем узлам, к которым подключён питающий источник напряжения (матрица может оказаться пустой для умножителя на 1).

B1, B2, B3 (B3=B1), B4 - контурные матрицы (матрицы независимых контуров).

u, ux, u1, uy, u2 - векторы-столбцы размера nb=nc+2, элементы которых - напряжения на соответствующих ветвях.

x1, x2, x3, x4 - векторы-столбцы из nb=nc+2 элементов; первые nc элементов равны:
x1[j]=C[j]*(ux[j]-u[j]),
x2[j]=C[j]*(u1[j]-ux[j]),
x3[j]=C[j]*(uy[j]-u1[j]),
x4[j]=C[j]*(u2[j]-uy[j]),
элемент с индексом nb-1=nc+1 равен 0 для всех векторов (x1, x2, x3, x4); точнее говоря - значение может быть любым - при умножении на соответствующую узловую матрицу результат не будет зависеть от данного элемента в связи с тем, что из узловой матрицы вычёркиваются строки для узлов, к которым подключена эта ветвь с номером nb-1 (источник напряжения).
Наконец,
x1[nb]=x3[nb]=IL/(2*F),
x2[nb]=0,
x4[nb]=0.

Независимость уравнений

Мы получили систему из 5*nb линейных уравнений с 5*nb неизвестными. Эта система будет иметь единственное решение, если все уравнения системы являются независимыми (если, конечно, система вообще совместна, но здесь совместность доказывать не будем).

Внутри каждой из групп G1, G2, G3, G4 уравнения независимы как составленные по правилам Кирхгофа для некоторой цепи. Независимость между этими группами обеспечивается тем, что в уравнения входят разные неизвестные (напряжения, либо их изменения на одних и тех же ветвях, но в разные моменты времени).

Независимость между G6 и группами G1, G2, G3, G4 обеспечивается тем, что в одном случае группа содержит уравнения элемента, а в другом - уравнения цепи.

Что касается группы уравнений G5 (уравнения установившегося режима), то тут возможны проблемы. В некоторых случаях независимость некоторых уравнений из группы G5 от уравнений из остальных групп не обеспечивается. А точнее, во вполне определённых случаях: когда в умножителе имеются узлы, к которым подключены только конденсаторы, и эти узлы не участвуют в коммутации, т.е. к ним не подключены диоды. Это возможно в том случае, когда в умножителе имеются дополнительные узлы кроме тех, которые образованы основной диодной цепью и источником питающего напряжения.

Пример схемы умножителя с плавающим узлом. Рис. %img:float_node

На рис. %img:float_node приведён пример схемы умножителя с такого рода узлом - к узлу 5 подключены только конденсаторы.

Покажем, что каждый узел из конденсаторов уменьшает количество независимых уравнений. Запишем для такого узла k уравнение по 1ПК $$ \sum_j A_{kj}C_j\Delta u=0, $$ уравнение имеет один и тот же вид во всех фазах цикла, так как узел является статическим в том смысле, что остаётся неизменным во всех конфигурациях. Поэтому можем записать для четырёх конфигураций цикла: $$ \sum_j A_{kj}C_j(ux_j-u_j)=0, \\ \sum_j A_{kj}C_j(u1_j-ux_j)=0, \\ \sum_j A_{kj}C_j(uy_j-u1_j)=0, \\ \sum_j A_{kj}C_j(u2_j-uy_j)=0, \\ $$ где в силу статичности узла, все соответствующие коэффициенты в уравнениях одинаковы. Поэтому сумма уравнений будет иметь вид $$ \sum_j A_{kj}C_j(u2_j-u_j)=0. $$ Нетрудно заметить, что мы получили линейную комбинацию уравнений установившегося режима (\(u2_j-u_j=0\)). Одно из уравнений в данной группе уравнений (4 уравнения по 1ПК для узла в разных фазах и уравнения установившегося режима для напряжений на конденсаторах, подключённых к узлу) является следствием остальных уравнений и должно быть исключено. Можно показать, что оставшиеся в группе уравнения являются независимыми.

Исключив уравнение, мы получаем систему, в которой уравнений меньше, чем неизвестных. Такая система имеет неоднозначное решение. Для получения однозначного решения требуется включить в систему некоторые дополнительные уравнения.

Последовательное соединение двух конденсаторов - простейший пример плавающего узла. Рис. %img:cs

Причина описанной ситуации в следующем. Рассматривая исключительно установившийся режим, мы упускаем из вида начальные условия, которыми определяются потенциалы таких изолированных по постоянному току точек. В качестве примера, рассмотрим простейшую ситуацию, когда узел образован всего двумя конденсаторами или, проще говоря, последовательное соединение двух конденсаторов (рис. %img:cs). Два последовательно соединённых конденсатора с ёмкостями C1, C2 эквиваленты одному с ёмкостью C такой, что 1/C=1/C1+1/C2: $$ i=C_1\frac{du_1}{dt}, i=C_2\frac{du_2}{dt}, $$ тогда напряжение на каждом из конденсаторов и общее напряжение $$ u_1=\frac 1 {C_1} \int_0^{\tau}i dt+u_{10}, \\ u_2=\frac 1 {C_2} \int_0^{\tau}i dt+u_{20}, \\ u=u_1+u_2=\left(\frac 1 {C_1}+\frac 1 {C_2}\right)\int_0^{\tau}i dt+u_{10}+u_{20} $$ или $$ u=\frac 1 C \int_0^{\tau}i dt+u_0. $$ Последнее выражение показывает, что два последовательно соединённых конденсатора действительно эквивалентны одному, причём начальное напряжение на нём \(u_0=u_{10}+u_{20}\), как видим, может быть получено бесчисленным количеством комбинаций разных значений \(u_{10}, u_{20}\) (можно сказать по другому: начальному условию для эквивалентного конденсатора удовлетворяет произвольный потенциал плавающего узла). В частности, разряженному изначально эквивалентному конденсатору, может соответствовать последовательное соединение изначально заряженных до произвольного напряжения конденсаторов, при условии, что \(u_{10}=-u_{20}\). Для устранения неоднозначности, необходимо указать начальное состояние (начальное напряжение) всех конденсаторов, подключённых к "плавающему" узлу, кроме одного, напряжение на котором уже не может быть задано независимо. Начальные условия могут быть учтены и неявным образом. Так, если последовательно соединённые конденсаторы изначально разряжены, это эквивалентно условию пропорциональности напряжений на одном из конденсаторов и общего напряжения на двух конденсаторах: \(u=u_1 C_1/C\).

Подобные рассмотренной "патологии" возникают в схеме из-за идеализации элементов, в данном случае из-за пренебрежения токами утечки конденсаторов. В реальной схеме именно конечное сопротивление изоляции между обкладками конденсаторов будет определять потенциал "плавающей" точки в установившемся режиме, а не начальные условия. В то же время, проблемными такие схемы остаются и в мире реальных, неидеальных элементов: из-за случайного разброса токов утечек у разных конденсаторов, потенциал "плавающей" точки оказывается заранее непредсказуемым, а распределение напряжений между конденсаторами может оказаться крайне неблагоприятным. В высоковольтной схеме подобная ситуация недопустима. Конечно, её можно исправить с помощью выравнивающих резисторов, но это также не лучшее решение из-за усложнения схемы и увеличения потерь.

Описанной ситуации не возникает в обычных умножителях с минимально возможным количеством узлов, где происходит последовательная передача зарядов от одних конденсаторов к другим, при этом один или несколько конденсаторов в определённый момент рабочего цикла подключаются к питающему источнику и заряжаются от него до определённого значения напряжения, что снимает неоднозначность. В таких умножителях установившийся потенциал каждого узла не зависит от начальных условий (влияние начальных условий быстро угасает со временем в течение переходного процесса).

author: hamper; date: 2019-03-13
  @Mail.ru