Сумма гармонических сигналов одной частоты

Обсудить; оставить комментарий (blogger.com, регистрация не требуется).

Сумма нескольких гармонических сигналов с любыми амплитудами и фазами, но с одинаковой частотой, является гармоническим сигналом этой же частоты. Например, на рисунке выше показан результат суммирования (изображён синим цветом) двух сигналов одной частоты (красный и зелёный).

Указанное свойство легко доказать с привлечением простейших сведений из тригонометрии. Вначале рассмотрим самый простой случай, когда складываются два сигнала со сдвигом фаз в \(\pi/2\) между ними, т.е. рассмотрим сумму вида $$ a \sin \omega t + b \cos \omega t $$ или, обозначив для простоты \(\omega t\) просто как x, запишем $$ \begin{equation} a \sin x + b \cos x. \label{fe} \end{equation} $$ Хорошо известно, что подобного вида выражение легко приводится к виду $$ A \sin(x + \phi) $$ (смотрите также "Тригонометрические функции и формулы"). Для этого в (\ref{fe}) вынесем за скобки множитель \(\sqrt{a^2 + b^2}\), получим $$ \begin{equation} a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac a {\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x + \frac b {\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x \right). \label{se} \end{equation} $$ Здесь мы исключаем из рассмотрения тривиальный случай, когда одновременно a = 0, b = 0 и результат также равен 0. Тогда очевидно, что сумма квадратов коэффициентов при sin x, cos x в правой части уравнения равна 1. Значит, если будем рассматривать эти коэффициенты как координаты некоторой точки, то можем утверждать, что эта точка принадлежит единичной окружности. Следовательно, по определению тригонометрических функций, координаты точки являются соответственно косинусом и синусом угла между осью абсцисс и лучом, проходящим через начало координат и эту точку. Обозначив этот угол как \(\phi\), запишем $$ \cos \phi = \frac a {\sqrt{a^2 + b^2}}, \\ \sin \phi = \frac b {\sqrt{a^2 + b^2}}. $$ Подставив выражения в (\ref{se}), видим, что получаем синус суммы: $$ a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} ( \cos \phi \sin x + \sin \phi \cos x) = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \phi). $$ Итак, получили, что сумма двух гармонических сигналов произвольной амплитуды со сдвигом фаз \(\pi/2\) между ними, действительно является гармоническим сигналом такой же частоты, $$ a \sin x + b \cos x = A \sin(x + \phi), $$ где $$ A = \sqrt{a^2 + b^2}, $$ \(\phi\) определяется из условий $$ \cos \phi = \frac a {\sqrt{a^2 + b^2}}, \\ \sin \phi = \frac b {\sqrt{a^2 + b^2}}. $$

Этот результат легко обобщить на случай двух сигналов с произвольными фазами, т.е. доказать, что $$ c_1 \sin(x + {\phi}_1) + c_2 \sin(x + {\phi}_2) = A \sin(x + \phi), $$ где \(A, \phi\) - некоторые величины, зависящие от \(c_1, c_2, {\phi}_1, {\phi}_2\). Для доказательства применим к каждому из слагаемых исходного выражения формулу для синуса от суммы $$ c_1 \sin(x + {\phi}_1) + c_2 \sin(x + {\phi}_2) = с_1 \sin x \cos {\phi}_1 + c_1 \cos x \sin {\phi}_1 + с_2 \sin x \cos {\phi}_2 + c_2 \cos x \sin {\phi}_2 = \\ = (c_1 \cos {\phi}_1 + c_2 \cos {\phi}_2) \sin x + (c_1 \sin {\phi}_1 + c_2 \sin {\phi}_2) \cos x = \\ = a \sin x + b \cos, $$ где $$ a = (c_1 \cos {\phi}_1 + c_2 \cos {\phi}_2), \\ b = (c_1 \sin {\phi}_1 + c_2 \sin {\phi}_2). $$ Но как мы уже показали, $$ a \sin x + b \cos = A \sin(x + \phi), $$ где $$ A = \sqrt{a^2 + b^2}, $$ а \(\phi\) определяется из условий $$ \cos \phi = \frac a {\sqrt{a^2 + b^2}}, \\ \sin \phi = \frac b {\sqrt{a^2 + b^2}}. $$ Окончательно можем записать $$ c_1 \sin(x + {\phi}_1) + c_2 \sin(x + {\phi}_2) = A \sin(x + \phi), \\ $$ где $$ A = \sqrt{a^2 + b^2}, \\ a = (c_1 \cos {\phi}_1 + c_2 \cos {\phi}_2), \\ b = (c_1 \sin {\phi}_1 + c_2 \sin {\phi}_2), \\ \cos \phi = \frac a {\sqrt{a^2 + b^2}}, \\ \sin \phi = \frac b {\sqrt{a^2 + b^2}}. $$ Что нам и требовалось доказать.

Совершенно аналогично рассматривается случай суммирования произвольного количества гармонических сигналов. $$ c_1 \sin(x + {\phi}_1) + c_2 \sin(x + {\phi}_2) + c_3 \sin(x + {\phi}_3) + \ldots = \\ = с_1 \sin x \cos {\phi}_1 + c_1 \cos x \sin {\phi}_1 + с_2 \sin x \cos {\phi}_2 + c_2 \cos x \sin {\phi}_2 + с_3 \sin x \cos {\phi}_3 + c_3 \cos x \sin {\phi}_3 + \ldots = \\ = c_1 \cos {\phi}_1 \sin x + c_2 \cos {\phi}_2 \sin x + c_3 \cos {\phi}_3 \sin x + \ldots + c_1 \sin {\phi}_1 \cos x + c_2 \sin {\phi}_2 \cos x + c_3 \sin {\phi}_3 \cos x + \ldots = \\ = (c_1 \cos {\phi}_1 + c_2 \cos {\phi}_2 + c_3 \cos {\phi}_3 + \ldots) \sin x + (c_1 \sin {\phi}_1 + c_2 \sin {\phi}_2 + c_3 \sin {\phi}_3 + \ldots) \cos x = \\ = a \sin x + b \cos x = A \sin(x + \phi), $$ $$ c_1 \sin(x + {\phi}_1) + c_2 \sin(x + {\phi}_2) + c_3 \sin(x + {\phi}_3) + \ldots = A \sin(x + \phi), $$ где $$ a = c_1 \cos {\phi}_1 + c_2 \cos {\phi}_2 + c_3 \cos {\phi}_3 + \ldots, \\ b = c_1 \sin {\phi}_1 + c_2 \sin {\phi}_2 + c_3 \sin {\phi}_3 + \ldots, \\ A = \sqrt{a^2 + b^2}, $$ \(\phi\) определяется из условий $$ \begin{cases} \cos \phi = a / A, \\ \sin \phi = b / A. \end{cases} $$

Подставляя \(x = \omega t\), получаем что, действительно, сумма гармонических сигналов одной частоты является гармоническим сигналом этой же частоты. И хотя мы рассматривали суммирование синусоидальных сигналов, на самом деле не имеет значения, какие функции, cos или sin присутствуют среди слагаемых. Действительно, скорректировав аргумент (фазу) на \(\pm \pi/2\), в соответствии с формулами приведения, мы при необходимости перейдём от одной функции к другой.

Обсудить; оставить комментарий (blogger.com, регистрация не требуется).