| [Home] | [Donate!] [Контакты] |
Идеальный умножитель напряжения на m, подключённый к источнику переменного напряжения с амплитудой Ua и работающий без нагрузки, в установившемся режиме даёт на выходе напряжение m*Ua. Однако, при наличии нагрузки, напряжение на выходе умножителя падает, а также появляются пульсации. Величина падения напряжения и амплитуда пульсаций зависят от тока нагрузки, частоты питающего напряжения и ёмкости конденсаторов в умножителе. Выяснив характер зависимостей, мы сможем правильно рассчитать параметры элементов умножителя.
Следует заметить, что результаты для умножителей с чётными и нечётными коэффициентами умножения отличаются, но различия в их характеристиках столь незначительные, что, обычно, можно пользоваться одними и теми же формулами для всех случаев. Здесь будут рассмотрены умножители с чётными коэффициентами. Нагрузочные характеристики умножителей с нечётными коэффициентами немного лучше и формулы, которые будут здесь получены, дадут для них "пессимистическую" оценку, но тем самым мы получим действительные характеристики рассчитываемого умножителя с нечётным коэффициентом не хуже заданных.
Оглавление
Поскольку мало у кого хватит сил добраться до конца этого документа, приведём основные результаты в начале.
Напряжение на выходе умножителя в установившемся режиме
$$
U_{out}=mU_a-\frac I{2FC}\left(\frac{m^3}6+\frac{m^2}8+\frac m{12}\right),
$$
m - коэффициент умножения;
Ua - амплитуда питающего напряжения;
I - ток нагрузки;
F - частота переменного тока источника питания для умножителя;
C - ёмкость конденсатора (предполагается, что все конденсаторы умножителя имеют одинаковую ёмкость).
Напряжение на выходе умножителя при наличии нагрузки является пульсирующим, данное выражение даёт значение напряжения в точках максимума (пиковые значения), смотрите далее по тексту рис. %img:i2.
Предполагается, что коэффициент умножения - чётный (но и в случае нечётного коэффициента выражение даёт достаточно хорошую точность); все конденсаторы умножителя имеют одинаковую ёмкость; элементы умножителя считаем идеальными (на практике это означает, что ток утечки диодов и конденсаторов мал, прямое падение напряжения на диодах много меньше амплитуды напряжения питающего умножитель источника тока).
Размах пульсаций на выходе умножителя $$ h=\frac I{2FC}\left(\frac{m^2}4+\frac m 2\right), $$ амплитуду пульсаций можем принять равной h/2.
Исходя из этих значений, можно вычислить напряжение на выходе умножителя в точках минимума: \(U_{out}-h\); оценить среднее значение выходного напряжения: \(U_{out}-h/2\).
При наличии нагрузки, напряжение на выходе умножителя в установившемся режиме является пульсирующим. Наша задача состоит в том, чтобы определить мгновенные напряжения умножителя в точках максимума и минимума как функции от тока нагрузки. Тем самым мы получим нагрузочную характеристику умножителя, а также сможем вычислить размах пульсаций. Для решения задачи составим уравнения процессов, протекающих в умножителе. Решая уравнения, найдём напряжения на каждом из конденсаторов в точках максимума и минимума. Просуммировав напряжения на конденсаторах с чётными номерами, найдём выходное напряжение.
Для того чтобы описать поведение данной системы с помощью уравнений, можно использовать разные подходы, используя допущения разной степени грубости. Рассмотрим два варианта. В одном из них, более-менее аккуратно проанализируем каждое из событий, состоящее в переходе каждого из диодов из закрытого состояния в открытое и обратно и связанную с этими процессами передачу зарядов между конденсаторами. Во втором варианте применим весьма грубое приближение, считая, что обмен зарядами происходит одновременно и мгновенно. Оказывается, что оба подхода приводят к совершенно одинаковым уравнениям. Здесь рассмотрим "грубый", но более простой подход, а более детализированный анализ находится в отдельном документе.
Итак, если нагрузка вообще отсутствует, то напряжение на каждом из конденсаторов умножителя не изменяется со временем, оно равно 2*Ua - в два раза превышает амплитуду напряжения источника питания (кроме первого конденсатора, напряжение на котором равно амплитуде источника). Диоды умножителя всё время находятся в закрытом состоянии. Потребляемый от источника ток равен нулю.
Если умножитель имеет нагрузку, то её питание осуществляется за счёт последовательно соединённых конденсаторов C2, C4, C6, ..., имеющих на рис. %img:i1 чётные номера. В результате конденсаторы разряжаются, что создаёт условия для появления импульсов тока через диоды с чётными номерами D2, D4, D6, ..., подзаряжающих конденсаторы. Конденсаторы с чётными номерами подзаряжаются от конденсаторов с нечётными, номерами, в результате чего последние теряют часть заряда, их подзарядка происходит через диоды с нечётными номерами. Умножитель начинает потреблять ток от источника питания, а выходное напряжение падает.
В документе "Переходный процесс в умножителе напряжения при включении" уже рассматривались подробно процессы, происходящие в умножителе и связанные с последовательной передачей заряда от одного конденсатора к следующему за счёт последовательного переключения диодов. Было показано, что нечётные диоды открываются во время убывания напряжения источника питания (при изменении напряжения u(t) от значения +Ua к значению -Ua), первым открывается диод соответствующего направления в самом последнем звене умножителя, наиболее удалённом от входа. Затем диод закрывается и открывается диод этого направления в предшествующем звене и т.д., до первого диода, который открывается в последнюю очередь. Закрывается он также в последнюю очередь, это происходит в момент, когда u(t)=-Ua, т.е. когда напряжение источника питания достигает отрицательного амплитудного значения. Аналогичная последовательность процессов поочерёдного перехода диодов (только теперь для диодов с чётными номерами) в открытое состояние происходит во время возрастания напряжения источника (при изменении напряжения u(t) от значения -Ua к значению +Ua). Первым открывается диод последнего звена умножителя, он закрывается в момент, когда открывается диод данного направления в предшествующем звене и т.д. Последним открывается диод D2, а закрывается он в момент, когда u(t)=+Ua.
Чем меньше ток, тем меньше продолжительность времени, в течение которого открыт каждый диод и меньше общее время, на протяжении которого происходит процесс переключений (а в пределе это время становится равным нулю - если нет нагрузки, в установившемся режиме диоды не открываются). При малых токах нагрузки вся последовательность переключений компактно сосредотачивается вблизи точек максимума и минимума u(t), разделённых, очевидно, интервалом T/2, где T - период колебаний питающего умножитель переменного напряжения.
А если время переключений мало по сравнению с половиной периода, то можно пренебречь влиянием тока нагрузки на конденсаторы с нечётными номерами - большую часть времени они будут отключены от нагрузки закрытыми диодами. В таком случае, ток нагрузки практически всё время течёт через конденсаторы с чётными номерами на схеме и оказывает на них значительно большее влияние, чем на нечётные.
Рассмотрим процессы в умножителе в течение одного цикла работы. За начальный момент примем момент прохождения питающим напряжением значения +Ua, когда все диоды уже закрыты. Обозначим напряжения на конденсаторах C1, C2, C3, ... в этот момент как U1, U2, U3, ... (без штрихов).
Как уже было сказано, в нашем приближении, где-то незадолго до момента времени, когда u(t) достигнет значения -Ua, произойдёт обмен зарядами между конденсаторами, передача заряда от конденсаторов с нечётными номерами к конденсаторам с чётными номерами через диоды с нечётными номерами. В момент, когда все диоды закроются (u(t)=-Ua), напряжения на конденсаторах обозначим буквами с одним штрихом: U'1, U'2, U'3, ... Непосредственно перед обменом зарядами, напряжения на нечётных конденсаторах будет таким же, как в начале цикла, U1, U3, U5, ... (они не разряжаются, пока диоды закрыты, ток через них не течёт), а напряжения на чётных конденсаторах упадут в результате протекания тока нагрузки на величину $$ \Delta U \approx \frac{IT}{2C}=\frac I{2FC}. $$ Данное соотношение объясняется тем, что в нашем приближении процессы переключения занимают малое время, таким образом, конденсаторы разряжаются током I в течение времени T/2, значит изменение заряда на последовательно соединённых конденсаторах одинаковое и равно -I*T/2, что и определяет указанную величину падения напряжения.
Характер изменения напряжения на каждом из чётных конденсаторов (который примерно соответствует характеру изменения выходного напряжения умножителя) можно проследить по графику на рис. %img:i2, где также изображён график мгновенного значения питающего напряжения для того, чтобы дать временную привязку (графики даны в различных масштабах, оба графика даны в смещении по оси напряжений). Импульсы напряжения на конденсаторах с нечётными номерами являются трапециевидными, т.е. основания импульсов горизонтальны, не имеют скосов, характерных для чётных конденсаторов, через которые протекает ток нагрузки.
Теперь мы можем составить систему уравнений, описывающую процессы передачи заряда между конденсаторами и переключения диодов. Уравнения составляются таким же образом, как это делалось в случае анализа переходного процесса в вышеупомянутом документе. Единственное отличие - в качестве начальных величин берём не напряжения на конденсаторах на начало цикла, а напряжения с учётом разряда током нагрузки. Получаем: $$ \begin{cases} U'_1=U_a, \\ U'_m=U_m-\Delta U, \\ U'_2-U'_3=0, \\ U'_2+U'_3=U_2+U_3-\Delta U, \\ U'_4-U'_5=0, \\ U'_4+U'_5=U_4+U_5-\Delta U, \\ \ldots, \\ U'_{m-2}-U'_{m-1}=0, \\ U'_{m-2}+U'_{m-1}=U_{m-2}+U_{m-1}-\Delta U, \end{cases} $$ или, в общем виде, $$ \begin{cases} U'_1=U_a, \\ U'_m=U_m-\Delta U, \\ U'_i-U'_{i+1}=0, \\ U'_i+U'_{i+1}=U_i+U_{i+1}-\Delta U, \\ i=2, 4, \ldots, m-2. \end{cases} $$ Складывая попарно уравнения системы, начиная с третьего (3-е с 4-м, 5-е с 6-м и т.д.), находим значения неизвестных. $$ \begin{cases} U'_1=U_a, \\ U'_m=U_m-\Delta U, \\ U'_2=U'_3=\frac 1 2 (U_2+U_3-\Delta U), \\ U'_4=U'_5=\frac 1 2 (U_4+U_5-\Delta U), \\ \ldots, \\ U'_{m-2}=U'_{m-1}=\frac 1 2 (U_{m-2}+U_{m-1}-\Delta U), \end{cases} $$ или в общем виде: $$ \begin{cases} \tag{1} U'_1=U_a, \\ U'_m=U_m-\Delta U, \\ U'_i=U'_{i+1}=\frac 1 2 (U_i+U_{i+1}-\Delta U), \\ i=2, 4, \ldots, m-2. \end{cases} $$
На рассмотренном полутакте происходит подзаряд конденсаторов с нечётными номерами от конденсаторов с чётными номерами, в результате чего напряжения на последних уменьшаются (U'i, i=2, 4, ..., m), однако они не являются наименьшими значениями за период, так как в дальнейшем происходит линейное уменьшение этих напряжений в результате протекания тока нагрузки, которое происходит до момента начала подзаряда этих конденсаторов в следующем полутакте.
Из аналогичных соображений записываем уравнения для второй половины цикла работы умножителя, в результате чего находим напряжения на конденсаторах в момент, когда напряжение источника достигает значения u(t)=+Ua и все диоды закрываются. Эти напряжения обозначаем двумя штрихами, они относятся к моменту завершения данного цикла работы или что то же самое - к началу следующего цикла. $$ \begin{cases} U''_1-U''_2=-U_a, \\ U''_1+U''_2=U'_1+U'_2-\Delta U, \\ U''_3-U''_4=0, \\ U''_3+U''_4=U'_3+U'_4-\Delta U, \\ \ldots, \\ U''_{m-1}-U''_m=0, \\ U''_{m-1}+U''_m=U'_{m-1}+U'_m-\Delta U. \end{cases} $$ или $$ \begin{cases} U''_1-U''_2=-U_a, \\ U''_1+U''_2=U'_1+U'_2-\Delta U, \\ U''_j-U''_{j+1}=0, \\ U''_j+U''_{j+1}=U'_j+U'_{j+1}-\Delta U, \\ j=3, 5, \ldots, m-1. \end{cases} $$ Подставляем из (1) значения для величин со штрихом, получаем $$ \begin{cases} U''_1-U''_2=-U_a, \\ U''_1+U''_2=U_a+\frac 1 2 (U_2+U_3-\Delta U)-\Delta U, \\ U''_3-U''_4=0, \\ U''_3+U''_4=\frac 1 2 (U_2+U_3-\Delta U)+\frac 1 2 (U_4+U_5-\Delta U)-\Delta U, \\ \ldots, \\ U''_{m-1}-U''_m=0, \\ U''_{m-1}+U''_m=\frac 1 2 (U_{m-2}+U_{m-1}-\Delta U)+(U_m-\Delta U)-\Delta U. \end{cases} $$ или $$ \begin{cases} U''_1-U''_2=-U_a, \\ U''_1+U''_2=U_a+\frac 1 2 (U_2+U_3-\Delta U)-\Delta U, \\ U''_j-U''_{j+1}=0, \\ U''_j+U''_{j+1}=\frac 1 2 (U_{j-1}+U_j-\Delta U)+\frac 1 2 (U_{j+1}+U_{j+2}-\Delta U)-\Delta U, \\ j=3, 5, \ldots, m-3, \\ U''_{m-1}-U''_m=0, \\ U''_{m-1}+U''_m=\frac 1 2 (U_{m-2}+U_{m-1}-\Delta U)+(U_m-\Delta U)-\Delta U. \end{cases} $$ Видим, что U''3=U''4, U''5=U''6, ..., U''m-1=U''m, т.е. в конце каждого такта напряжения на перечисленных конденсаторах попарно равны. А конец одного такта является началом следующего, значит и для начала каждого такта выполняются аналогичные соотношения: U3=U4, U5=U6, ..., Um-1=Um, что позволяет нам в правых частях уравнений исключить напряжения на нечётных конденсаторах. Система уравнений приобретает вид $$ \begin{cases} U''_1-U''_2=-U_a, \\ U''_1+U''_2=U_a+\frac 1 2 U_2+\frac 1 2 U_4-\frac 3 2 \Delta U, \\ U''_j-U''_{j+1}=0, \\ U''_j+U''_{j+1}=\frac 1 2 U_{j-1}+U_{j+1}+\frac 1 2 U_{j+3}-2 \Delta U, \\ j=3, 5, \ldots, m-3, \\ U''_{m-1}-U''_m=0, \\ U''_{m-1}+U''_m=\frac 1 2 U_{m-2}+\frac 3 2 U_m-\frac 5 2 \Delta U. \end{cases} $$ Попарно группируя уравнения системы и вычитая из второго уравнения каждой группы первое, мы выразим напряжения на конденсаторах с чётными номерами в конце такта через напряжения в начале такта, напряжения на конденсаторах с нечётными номерами исключаются из рассмотрения (они нас не интересуют, так как для вычисления выходного напряжения нам предстоит просуммировать напряжения на конденсаторах с чётными номерами). В итоге получаем $$ \begin{cases} 2 U''_2=2 U_a+\frac 1 2 U_2+\frac 1 2 U_4-\frac 3 2 \Delta U, \\ 2 U''_4=\frac 1 2 U_2+U_4+\frac 1 2 U_6-2 \Delta U, \\ \ldots, \\ 2 U''_{m-2}=\frac 1 2 U_{m-4}+U_{m-2}+\frac 1 2 U_m-2 \Delta U, \\ 2 U''_m=\frac 1 2 U_{m-2}+\frac 3 2 U_m-\frac 5 2 \Delta U. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} U''_2=U_a+\frac 1 4 U_2+\frac 1 4 U_4-\frac 3 4 \Delta U, \\ U''_4=\frac 1 4 U_2+\frac 1 2 U_4+\frac 1 4 U_6-\Delta U, \\ \ldots, \\ U''_{m-2}=\frac 1 4 U_{m-4}+\frac 1 2 U_{m-2}+\frac 1 4 U_m-\Delta U, \\ U''_m=\frac 1 4 U_{m-2}+\frac 3 4 U_m-\frac 5 4 \Delta U. \end{cases} $$
Напряжения с двумя штрихами соответствуют точкам максимума (пиковые значения напряжений на чётных конденсаторах).
В установившемся режиме напряжение на каждом из конденсаторов в начале любого такта равно напряжению в начале следующего такта: Ui=U''i, следовательно $$ \begin{cases} U_2=U_a+\frac 1 4 U_2+\frac 1 4 U_4-\frac 3 4 \Delta U, \\ U_4=\frac 1 4 U_2+\frac 1 2 U_4+\frac 1 4 U_6-\Delta U, \\ \ldots, \\ U_{m-2}=\frac 1 4 U_{m-4}+\frac 1 2 U_{m-2}+\frac 1 4 U_m-\Delta U, \\ U_m=\frac 1 4 U_{m-2}+\frac 3 4 U_m-\frac 5 4 \Delta U. \end{cases}. $$ Теперь умножим, для удобства дальнейших преобразований, каждое уравнение на 4, чтобы все коэффициенты получились целыми и перенесём все неизвестные в левую часть уравнений. Получим такую систему уравнений: $$ \begin{cases} \tag{2} 3 U_2-U_4=4 U_a-3 \Delta U, \\ -U_2+2 U_4-U_6=-4 \Delta U, \\ -U_4+2 U_6-U_8=-4 \Delta U, \\ \ldots, \\ -U_{m-4}+2 U_{m-2}-U_m=-4 \Delta U, \\ U_m-U_{m-2}=-5 \Delta U. \end{cases} $$ В этой системе все уравнения, кроме первого и последнего, имеют вид $$ -U_i+2 U_{i+2}-U_{i+4} =-4 \Delta U, \tag{3} \\ i=2, 4, 6, \ldots, m-4, $$ всего m/2-2 уравнений такого вида. Общее количество уравнений составляет m/2, что позволяет найти все неизвестные, количество которых также составляет m/2.
Регулярная структура системы уравнений (3) даёт возможность решить эту систему в общем виде. Прежде всего, как можно заметить, если сложить все уравнения системы, мы исключим все переменные, кроме U2. Это наблюдение можно обосновать методом математической индукции или просто выполнив суммирование в общем виде. Сумма левых частей всех уравнений вида (3) $$ \sum_i(-U_i+2 U_{i+2}-U_{i+4})=-\sum_i U_i+2\sum_i U_{i+2}-\sum_i U_{i+4}= \\ =-\sum_{j=1}^{m/2-2}U_{2j}+2 \sum_{j=2}^{m/2-1}U_{2j}-\sum_{j=3}^{m/2}U_{2j}=\\ -\left( \sum_{j=1}^{m/2}U_{2j}-U_{m-2}-U_m \right)+ 2 \left( \sum_{j=1}^{m/2}U_{2j}-U_2-U_m \right)- \left( \sum_{j=1}^{m/2}U_{2j}-U_2-U_4 \right)= \\ =U_{m-2}+U_m-2U_2-2U_m+U_2+U_4=U_{m-2}-U_m-U_2+U_4. $$ Здесь предполагается, что \(m \ge 4\). В случае, если m=4 (нет уравнений вида (3)), выражение обращается в 0.
Сумма правых частей этих уравнений равна $$ \sum_i(-4 \Delta U)=-4 \Delta U \left(\frac m 2 -2\right)=-2m\Delta U+8\Delta U. $$ Таким образом, получаем уравнение $$ -U_2+U_4+U_{m-2}-U_m=-2m\Delta U+8\Delta U. \tag{4} $$ Складываем его с первым и последним уравнениями системы (2), получаем уравнение относительно U2: $$ 2U_2=4U_a-2m\Delta U, \\ U_2=2U_a-m\Delta U. $$ Непосредственная проверка показывает, что последняя формула справедлива даже в случае m=2, хотя в процессе вывода мы предполагали, что m не меньше 4.
Из первого уравнением системы (2) получаем $$ U_4=3U_2-4U_a+3 \Delta U=6U_a-3m\Delta U-4U_a+3\Delta U, \\ U_4=2U_a-3m\Delta U+3\Delta U. $$ Теперь, вычислив U2, U4, можем с помощью уравнений системы (2), начиная со второго уравнения, последовательно определить значения U6, U8, и т.д. Так, $$ U_6=2U_4-U_2+4\Delta U=4U_a-6m\Delta U+6\Delta U-2U_a+m\Delta U+4\Delta U, \\ U_6=2U_a-5m\Delta U+10\Delta U $$ и вообще, $$ U_{i+4}=2U_{i+2}-U_i+4\Delta U, \tag{5} \\ i=2, 4, ..., m-4. $$ К данному рекуррентному соотношению можно применить Z-преобразование, что позволит явным образом выразить каждую неизвестную как функцию от её индекса. Перейдём к другим обозначениям для того, чтобы записи были более компактными, обозначим через xn величину U2n+2, n=0, 1, 2, ..., (m-2)/2, в частности, $$ x_0=U_2, \\ x_1=U_4. $$ Величину \(\Delta U\) обозначим через d. Соотношение (5) примет вид: $$ x_{n+2}=2x_{n+1}-x_n+4d, \\ n+2=2, 3, \ldots, (m-2)/2, \\ (n=0, 1, \ldots, (m-6)/2). \tag{6} $$ причём x0, x1 нам известны.
Применяя к (6) Z-преобразование, получаем: $$ z^2 X-z^2 x_0-zx_1=2zX-2zx_0-X+4d\frac z{z-1}, \\ X(z^2-2z+1)=4d \frac z{z-1}-2zx_0+z^2x_0+zx_1, \\ X(z-1)^2=4d \frac z{z-1}-2zx_0+z^2x_0+zx_1, \\ X=4d \frac z{(z-1)^3}-2 x_0 \frac z{(z-1)^2}+x_0 \frac{z^2}{(z-1)^2}+x_1\frac z{(z-1)^2}. $$ К первому слагаемому полученного результата добавим выражение \( 2dz/(z-1)^2, \) тогда первые два слагаемые образуют табличную форму Z-преобразования квадратичной функции. Чтобы значение результата не изменилось, вычтем это же выражение: $$ X=\left(2\cdot 2d \frac z{(z-1)^3} +2d \frac z{(z-1)^2}\right)-2d \frac z{(z-1)^2}-2 x_0 \frac z{(z-1)^2}+x_0 \frac{z^2}{(z-1)^2}+x_1\frac z{(z-1)^2}. $$ Теперь можем выполнить обратное преобразование каждого слагаемого по таблице $$ x_n=2d n^2-2d n -2 x_0 n+x_0(n+1)+x_1 n, \\ x_n=2d n^2-2d n - x_0 n+x_1 n+x_0, $$ тогда, подставляя значения \(d=\Delta U, x_0=U_2=2U_a-m\Delta U, x_1=U_4=2U_a-3m\Delta U+3\Delta U,\) получаем $$ x_n=U_{2n+2}=2n^2\Delta U-2n\Delta U-(2U_a-m\Delta U)n+(2U_a-3m\Delta U+3\Delta U)n+2U_a-m\Delta U= \\ =2U_a+\Delta U(2n^2+n-2nm-m), \\ n=0, 1, 2, \ldots, (m-2)/2, \\ (U_2, U_4, \ldots, U_m). $$
Итак, мы можем определить напряжение на каждом из чётных конденсаторов умножителя под нагрузкой при любом количестве звеньев в умножителе. Полученные выражения имеют вид суммы напряжения в режиме холостого хода 2*Ua и изменения напряжения при наличии нагрузки (отрицательная величина). Это позволяет нам перейти к рассмотрению этих изменений, поскольку они однозначно определяют абсолютные значения напряжений. $$ \Delta U_{2n+2}=\Delta U(2n^2+n-2nm-m), n=0, 1, \ldots, (m-2)/2, \\ (U_2, U_4, \ldots, U_m). \tag{7} $$ Также мы можем использовать относительные величины, выраженные в единицах \( \Delta U, E_i=\Delta U_i/\Delta U \).
Напряжение на выходе умножителя равно сумме напряжений на конденсаторах с чётными номерами, а изменение выходного напряжения под нагрузкой равно сумме изменений напряжений на этих конденсаторах. $$ E=\sum_i E_i, i=2, 4, \ldots, m, \\ $$ $$ E=\sum_{k=0}^{(m-2)/2}(2k^2+k-2km-m)= \\ =2\sum_{k=0}^{(m-2)/2} k^2+\sum_{k=0}^{(m-2)/2} (k-2km-m). \tag{8} $$ Первое слагаемое-сумму вычисляем по формуле суммы квадратов, $$ 1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6 \tag{9} $$ или в нашем случае, $$ 2\sum_{k=0}^{(m-2)/2} k^2=2 \sum_{k=1}^{(m-2)/2} k^2= \\ =2 \frac{ \frac{m-2}2 \left( \frac{m-2}2+1 \right) \left( 2 \frac{m-2}2+1) \right) }6 = \\ =\frac{(m-2)m(m-1)}{12}=\frac{m^3-3m^2+2m}{12}=\\ =\frac{m^3}{12}-\frac{m^2}4+\frac m 6. \tag{10} $$
Второе слагаемое в (8) является суммой первых членов арифметической прогрессии и может быть вычислено, например, как произведение количества слагаемых и полусуммы крайних слагаемых суммы: $$ \sum_{k=0}^{(m-2)/2} (k-2km-m)=\left(\frac{m-2}2+1\right) \frac{(-m)+\left( \frac{m-2}2-2\frac{m-2}2 m-m \right)}2= \\ =\frac m 2 \frac{-m+m/2-1-m^2+2m-m}2= \\ =-\frac{m^3}4+\frac{m^2}8-\frac m 4. \tag{11} $$
Подставляя результаты вычисления сумм в выражение (8), получаем формулу для изменения напряжения на выходе умножителя под нагрузкой: $$ E=\frac{m^3}{12}-\frac{m^2}4+\frac m 6-\frac{m^3}4+\frac{m^2}8-\frac m 4= \\ =-\frac{m^3}6-\frac{m^2}8-\frac m{12}. \tag{12} $$ Как показывает непосредственная проверка, полученный результат оказывается верным даже в случае m=2 (E=-2), хотя в процессе вывода предполагалось, что m не менее 4.
Итак, напряжение на выходе умножителя с коэффициентом умножения m, в установившемся режиме, при токе нагрузке I, в том случае, если все конденсаторы устройства имеют одинаковую ёмкость C, равно $$ U_{out}=mU_a-\frac I{2FC}\left(\frac{m^3}6+\frac{m^2}8+\frac m{12}\right), \tag{13} $$ здесь Ua - амплитуда напряжения, F - частота питающего источника.
Мы уже вычислили пиковое значение напряжения на выходе умножителя, которое достигается в моменты, которые мы приняли за начала тактов работы устройства. Кроме того, выяснили, что наименьшее напряжение на выходе умножителя будет непосредственно перед началом активной фазы на втором полутакте (перед тем, как начнётся процесс подзаряда конденсаторов с чётными номерами), в нашем приближении этот момент находится весьма близко к тому моменту времени, когда напряжение источника достигает положительного амплитудного значения: u(t)=+Ua. Минимальным это напряжение будет потому, что к концу первого полутакта происходит подзаряд конденсаторов с нечётными номерами от конденсаторов с чётными, в результате чего напряжение на последних уменьшается и становится равным U'i, i=2, 4, ..., m, после чего происходит разряд конденсаторов с чётными номерами током нагрузки в течение времени примерно равным половине периода, т.е. напряжение на каждом из этих конденсаторов падает на величину \(\Delta U\) (смотрите выше рис. %img:i2). Таким образом, минимальное напряжение на выходе умножителя $$ U^*_{out}=\sum_i U'_i-\frac m 2 \Delta U, \\ i=2, 4, \ldots, m, \tag{14} $$ здесь \((m/2) \Delta U\) - суммарное падение напряжения на всех конденсаторах с чётными номерами за время от конца первого полутакта до начала активной фазы второго полутакта; m/2 - количество конденсаторов с чётными номерами.
Размах пульсаций можно определить как разность между наибольшим и наименьшим напряжением на выходе $$ h=U_{out}-U^*_{out}=U_{out}-U'_{out}+\frac m 2 \Delta U. \tag{15} $$
В соответствии с уравнениями (1), $$ U'_i=\frac 1 2 (U_i+U_{i+1}-\Delta U), i=2, 4, \ldots, m-2, \\ U'_m=U_m-\Delta U, \\ $$ кроме того, мы установили, что Ui+1=Ui+2, i=2, 4, ..., m-2. Тогда $$ U'_i=\frac 1 2 (U_i+U_{i+2}-\Delta U), i=2, 4, \ldots, m-2, \\ U'_m=U_m-\Delta U, \\ U'_{out}=\sum_i U'_i+U'_m=\frac 1 2 \sum_i U_i+\frac 1 2 \sum_i U_{i+2}-\frac 1 2 \Delta U \frac{m-2}2+(U_m-\Delta U), \\ i=2, 4, \ldots, m-2, \\ U'_{out}=\frac 1 2 (U_{out}-U_m)+\frac 1 2 (U_{out}-U_2)-\frac 1 4 m \Delta U + \frac 1 2 \Delta U+U_m-\Delta U= \\ =U_{out}-\frac 1 2 (U_2-U_m)-\frac 1 4 m\Delta U-\frac 1 2 \Delta U. $$ С учётом (7) $$ U_2=2U_a-m\Delta U, \\ U_m=2U_a-\Delta U \left( -\frac{m^2}2-\frac m 2+1 \right), $$ тогда $$ U_2-U_m=\Delta U\left( -m+\frac{m^2}2+\frac m 2-1 \right)=\Delta U \left(\frac{m^2}2-\frac m 2-1\right), \\ U'_{out}=U_{out}-\frac 1 2 \Delta U \left(\frac{m^2}2-\frac m 2-1\right)-\frac 1 4 m\Delta U-\frac 1 2 \Delta U= \\ =U_{out}-\Delta U\frac{m^2}4. $$
На основании последнего выражения и (15), окончательно получаем $$ h=\Delta U\left(\frac{m^2}4+\frac m 2\right). \tag{16} $$ Считая импульсы симметричными, амплитуду пульсаций можем принять равной половине размаха: h/2.
Формула (16) остаётся верной и в случае m=2, когда она даёт \(h=2\Delta U\).
