[Home] [Donate!] [Контакты]

Расчёт вихревых токов в общем случае

Перейдём к выводу уравнений, описывающих вихревые токи в проводящих телах под действием сторонних (внешних) магнитных полей.

Оглавление
Влияние грунта на металлоискатель. Отклик на предметы, не являющиеся малыми (основной документ) 
   Задача о расчёте вихревых токов 
   Расчёт вихревых токов в общем случае
   Решение задачи при наличии осевой симметрии 
   Численное решение задачи о вихревых токах при наличии осевой симметрии 
   Решение задачи в Octave. Примеры расчётов 
   Решение задачи в Octave. Влияние грунта 
   Решение задачи в Octave. Приложение: справочник по функциям 
Смотрите также
   Металлоискатели (общие вопросы) 


Предположим, что имеется некоторый источник переменного магнитного поля, например катушка L1, через которую протекает известный переменный ток. Магнитное поле катушки также считаем известным: в любой точке пространства X имеем возможность вычислить векторный потенциал \( \vec A_0 \) поля, создаваемого катушкой, рис. %img:f.

Появление вихревых токов в проводящем теле, находящемся во внешнем переменном магнитном поле. Рис. %img:f

Катушка L1 находится в среде 1 (воздух), параметры которой для решения нашей задачи можно считать такими же, как у вакуума \( \mu_1=1, \sigma_1=0, \text{ где } \sigma_1 \ -\) удельная проводимость первой среды.

В магнитном поле катушки находится тело 2 из проводящего материала (метал, грунт, морская вода или др.) с отличной от нуля удельной проводимостью \( \sigma_2 \). Поскольку в нашей задаче только проводимость второй среды ненулевая, далее её будем обозначать просто как \(\sigma_2=\sigma \).

Будем считать, что также как для первой, для второй среды \( \mu_2=1\), т.е. рассматриваем случай, когда материал проводящего тела не обладает выраженными магнитными свойствами. Тогда получаем \( \mu_1=\mu_2=\mu=1\), следовательно, на границе раздела двух сред не происходит преломления линий векторов магнитного поля \( \vec H, \vec B\). Этот факт несколько упрощает нашу задачу.

Под действием переменного магнитного поля в проводящем теле возникают вихревые токи. Вихревые токи создают своё магнитное поле, которое обозначим как \(\vec A_e\) (индекс "e" - сокращение от "eddy currents"). Считая каждую из сред 1, 2 линейной, однородной, изотропной и с учётом того, что, как было сказано ранее, на границе сред в данном случае не происходит преломления линий магнитного поля, магнитное поле в любой точке пространства будет складываться из поля катушки и поля, создаваемого вихревыми токами $$ \vec A = \vec A_0 + \vec A_e. $$ В том числе, это справедливо и для области 2. То есть, в вихревые токи вносит вклад не только поле катушки-индуктора, но и магнитное поле самих вихревых токов.

Для решения задачи воспользуемся уравнениями Максвелла. $$ \def\op{\operatorname} \begin{equation} \op{rot} \vec H = \vec j + \frac {\partial \vec D} {\partial t}, \label{mx1} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \op{div} \vec B = 0, \label{mx2} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \op{rot} \vec E = - \frac {\partial \vec B} {\partial t}, \label{mx3} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \op{div} \vec D = \rho. \label{mx4} \end{equation} $$

Дополним эту систему материальными уравнениями $$ \begin{equation} \vec B = \mu \mu_0 \vec H, \label{mx5} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \vec D = \varepsilon \varepsilon_0 \vec E, \label{mx6} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \vec j = \sigma \vec E. \label{mx7} \end{equation} $$

В уравнениях \eqref{mx1}..\eqref{mx7} используются обозначения:
\(\vec H\) - вектор напряжённости магнитного поля;
\(\vec B\) - вектор индукции магнитного поля;
\(\vec E\) - вектор напряжённости электрического поля;
\(\vec D\) - вектор электрической индукции;
\(\varepsilon\) - относительная диэлектрическая проницаемость;
\(\varepsilon_0\) - электрическая постоянная, $$ \varepsilon_0 = 8.8541878128(13) \cdot 10^{−12} \text{ Ф/м} $$ (смотрите изменения СИ 2018..2019 годов);
\(\mu\) - относительная магнитная проницаемость;
\(\mu_0\) - магнитная постоянная, \(\mu_0=1.25663706212(19) \cdot 10^{-6} \text{ Гн/м}\) (смотрите изменения СИ 2018..2019 годов);
\(\vec j\) - вектор плотности тока;
\(\sigma\) - удельная проводимость среды.

Считая процессы в рассматриваемой системе квазистационарными (достаточно медленно изменяющиеся токи и поля), будем пренебрегать токами смещения (считаем, что \(\partial \vec D / \partial t \approx 0\)). Это допустимо, поскольку магнитное поле, создаваемое токами смещения, в данном случае крайне слабое по сравнению с магнитным полем катушки L1 или магнитным полем вихревых токов. Тогда уравнение \eqref{mx1} примет вид $$ \begin{equation} \op{rot} \vec H \approx \vec j, \label{mx1a} \end{equation} $$ а с учётом \eqref{mx7} можем записать $$ \begin{equation} \op{rot} \vec H \approx \sigma \vec E. \label{mx1b} \end{equation} $$

Нашу задачу будет проще решить, если перейти к описанию магнитного поля с помощью векторного потенциала. По определению, векторный потенциал - это такой вектор \(\vec A\), что $$ \vec B = \op{rot} \vec A, $$ откуда $$ \begin{equation} \vec H = \frac 1 {\mu \mu_0} \op{rot} \vec A. \label{h_from_a} \end{equation} $$

Подставим B, выраженное через A, в уравнение \eqref{mx3}: $$ \op{rot} \vec E = - \frac {\partial \vec B} {\partial t}, \\ \vec B = \op{rot} \vec A, \\ \op{rot} \vec E = - \frac {\partial} {\partial t} \op{rot} \vec A. $$ В правой части выражения можем поменять местами операторы \(\partial / \partial t \text{ и } \op{rot}\) как операторы дифференцирования по независимым переменным (по времени и по координатам). Получим $$ \op{rot} \vec E = - \op{rot} \frac {\partial \vec A} {\partial t}, \\ \op{rot} \vec E + \op{rot} \frac {\partial \vec A} {\partial t} = 0, \\ \begin{equation} \op{rot} \left( \vec E + \frac {\partial \vec A} {\partial t} \right) = 0. \label{rtsz} \end{equation} $$

Ротор градиента любой скалярной функции равен 0, поэтому можем считать, что выражение в скобках в \eqref{rtsz} есть градиент некоторой функции, что запишем в следующем виде $$ \vec E + \frac {\partial \vec A} {\partial t} + \op{grad} \phi =0. $$ В нашем случае поле E создаётся исключительно переменным магнитным полем и поэтому имеет только вихревую составляющую; потенциальная составляющая отсутствует. Так что $$ \op{grad} \phi=0 $$ и $$ \begin{equation} \vec E = - \frac {\partial \vec A} {\partial t}. \label{e_from_a} \end{equation} $$

Подставим в \eqref{mx1b} выражения для H и E из \eqref{h_from_a} и \eqref{e_from_a} соответственно $$ \op{rot} \left( \frac 1 {\mu \mu_0} \op{rot} \vec A \right ) \approx - \sigma \frac {\partial \vec A} {\partial t}, \\ \begin{equation} \op{rot} \op{rot} \vec A \approx - \sigma \mu \mu_0 \frac {\partial \vec A} {\partial t}. \label{rra1} \end{equation} $$ Как мы помним, \(\vec A = \vec A_0 + \vec A_e\), поэтому левую часть \eqref{rra1} можно преобразовать следующим образом $$ \op{rot} \op{rot} \vec A = \op{rot} \op{rot} \vec A_0 + \op{rot} \op{rot} \vec A_e, $$ но $$ \op{rot} \op{rot} \vec A_0 = \op{rot} \vec B_0 = \frac 1 {\mu \mu_0} \op{rot} \vec H_0 \approx 0, $$ всюду, кроме точек внутри провода катушки L1, которые мы не рассматриваем (применять уравнения Максвелла и следствия из них к точкам катушки не требуется, так как поле катушки нам и так уже известно). Последнее равенство следует из \eqref{mx1a}, в соответствии с которым в любой точке $$ \op{rot} \vec H_0 \approx \vec j_0, $$ т.е. ротор напряжённости магнитного поля, создаваемого катушкой, в любой точке пространства равен плотности тока в проводе катушки в данной точке, которая, очевидно, равна нулю всюду вне провода катушки. Тогда получаем, что \(\op{rot}\op{rot}\vec A_0 \approx 0 \) и $$ \op{rot} \op{rot} \vec A \approx \op{rot} \op{rot} \vec A_e, $$ и уравнение \eqref{rra1} принимает вид $$ \begin{equation} \op{rot} \op{rot} \vec A_e \approx - \sigma \mu \mu_0 \frac {\partial (\vec A_0 + \vec A_e)} {\partial t}. \label{rra2} \end{equation} $$

Далее будем считать, что ток в катушке L1 изменяется по синусоидальному закону. С одной стороны, именно этот случай сейчас нам наиболее интересен (чаще всего ток в катушке металлоискателя является синусоидальным либо равен сумме нескольких синусоидальных составляющих). С другой стороны, предположение о синусоидальности тока в катушке существенно упрощает задачу. В этом случае все поля в системе и плотности вихревых токов также будут изменяться по синусоидальному закону с той же частотой (так как порождающим их первоисточником является ток в контуре и его переменное магнитное поле). Тогда имеет смысл воспользоваться методом комплексных амплитуд. При переходе к комплексным амплитудам, из уравнений исключается время (что понижает размерность задачи), а оператор дифференцирования по времени преобразуется просто в умножение на константу \( i \omega\), где \( i=\sqrt{-1}\), а \( \omega = 2 \pi f\) - циклическая частота колебаний тока в контуре (f - частота).

Так, уравнение \eqref{rra2}, записанное для комплексных амплитуд, примет вид $$ \begin{equation} \op{rot} \op{rot} \dot{\vec A_e} \approx - i \omega \sigma \mu \mu_0 (\dot{\vec A_0} + \dot{\vec A_e}). \label{rra1i} \end{equation} $$

Далее, для преобразования левой части уравнения, воспользуемся известным векторным тождеством $$ \op{rot} \op{rot} \vec a = \op{grad} \op{div} \vec a - \nabla^2 \vec a, $$ получим $$ \begin{equation} \op{grad} \op{div} \dot{\vec A_e} - \nabla^2 \dot{\vec A_e} \approx - i \omega \sigma \mu \mu_0 (\dot{\vec A_0} + \dot{\vec A_e}). \label{base_eq1} \end{equation} $$

Возвращаясь к соотношению \eqref{e_from_a}, \(\vec E = - \partial \vec A / \partial t\), для комплексных амплитуд можем записать $$ \op{div} \dot{\vec E} = - \op{div} (i \omega \dot{\vec A}) = - i \omega \op{div} \dot{\vec A}. $$ С другой стороны, в соответствии уравнениями Максвелла (а именно, используем \eqref{mx4}, \eqref{mx6}), имеем $$ \op{div} \dot{\vec E} = \op{div} \frac {\dot{\vec D}} {\varepsilon \varepsilon_0} = \frac 1 {\varepsilon \varepsilon_0} \op{div} \dot{\vec D} = \frac {\dot \rho} {\varepsilon \varepsilon_0} = 0, $$ так как в нашем случае свободные заряды отсутствуют и всюду \(\rho=0\).

Итак, получили $$ - i \omega \op{div} \dot{\vec A} = 0, $$ значит, если \(\omega \ne 0\), то можем утверждать, что $$ \op{div} \dot{\vec A} = 0. $$ Полученное равенство есть не что иное, как калибровка Кулона, которая, как оказалось, применима в данном случае. Если величина равна нулю, то и градиент от неё также будет нулевым $$ \op{grad} \op{div} \dot{\vec A} = 0. $$ То же самое справедливо для составляющей векторного потенциала \(\dot{\vec A_e}\). С учётом чего, уравнение \eqref{base_eq1} примет вид $$ \begin{equation} \nabla^2 \dot{\vec A_e} \approx i \omega \sigma \mu \mu_0 \dot{\vec A_0} + i \omega \sigma \mu \mu_0 \dot{\vec A_e}. \label{base_eq2} \end{equation} $$

Уравнение, связывая известное нам магнитное поле катушки и неизвестное магнитное поле вихревых токов, позволяет это неизвестное поле рассчитать. После чего можем определить полное магнитное поле как \(\dot{\vec A} = \dot{\vec A_0} + \dot{\vec A_e}\).

Если мы вычислили A в некоторой точке проводящего тела, сможем определить плотность вихревых токов в этой точке, воспользовавшись уравнениями \eqref{mx7} и \eqref{e_from_a}, которые для комплексных амплитуд примут соответственно вид $$ \dot{\vec j} = \sigma \dot{\vec E}, \\ \dot{\vec E} = - i \omega \dot{\vec A}, $$ откуда получаем $$ \dot{\vec j} = - i \omega \sigma \dot{\vec A} = - i \omega \sigma (\dot{\vec A_0} + \dot{\vec A_e}). $$

Далее: "Решение задачи при наличии осевой симметрии".

author: hamper; date: 2020-02-04
  Рейтинг@Mail.ru